오일러 공식을 유도하는 다양한 방법 중 대표적으로 미분 방정식을 이용하여 유도하는 방법과 테일러 급수를 이용하여 유도하는 방법에 대하여 이 글에서 다루어 보도록 하겠습니다.
미분 방정식을 이용한 오일러 공식 유도
오일러 공식을 사용할 때에는 수의 범위를 복소수의 범위에서 생각하겠습니다. 즉, 허수도 적용 가능한 공식임을 뜻합니다.
위 그래프는 복소 평면을 나타내며 복소 평면에서 복소수는 x+iy 형태의 한 점으로 나타낼 수 있습니다. 가로축은 실수(Real)을 뜻하고 세로축은 허수 (Imaginary)를 뜻합니다. 이 때, x+iy를 (x,y)와 같이 직교 좌표계 형태로 나타낼 수 있는 반면 극 좌표계 개념을 도입하여 x+iy=rcosθ+irsinθ 형태로 나타낼 수 있습니다.
극 좌표계를 이용하여 위 그림과 같이 r=1인 단위 원을 그리면 위 그래프와 같이 나타낼 수 있습니다. 이 경우 z=cosθ+isinθ로 극 좌표 z를 나타낼 수 있습니다. 이 식과 미분 방정식을 이용하여 오일러 공식을 유도해 보겠습니다.
