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294 페이지 참조
좋은 질문이에요 🙂 이제 그 과정을 아주 정확하게 짚어드릴게요.
1️⃣ 출발점
우리가 알고 있는 관계는: [ \frac{dT}{dt},T^{-1} = \omega J ]
여기서 (T(\theta(t)))는 회전 행렬, (T^{-1}(\theta(t)))는 그 역행렬, (\omega = \frac{d\theta}{dt})는 각속도입니다.
2️⃣ 단위행렬의 미분 항등식
항등식: [ \frac{d}{dt}\big(T(t)T^{-1}(t)\big) = 0 ]
왜냐하면 (T(t)T^{-1}(t) = I)이므로, 그 미분은 항상 0입니다.
이를 전개하면: [ \frac{dT}{dt},T^{-1} + T,\frac{dT^{-1}}{dt} = 0 ]
3️⃣ 원하는 형태로 정리
위 식을 정리하면: [ T,\frac{dT^{-1}}{dt} = -,\frac{dT}{dt},T^{-1} ]
즉, 역행렬의 미분을 왼쪽에 곱한 형태와 원래 미분을 오른쪽에 곱한 형태가 부호만 다르게 연결됩니다.
4️⃣ 주어진 관계 대입
이미 알고 있는 관계: [ \frac{dT}{dt},T^{-1} = \omega J ]
이를 위 식에 대입하면: [ T,\frac{dT^{-1}}{dt} = -,\omega J ]
5️⃣ 핵심 포인트
- 교환법칙을 쓴 것이 아니라, 단위행렬의 미분 항등식을 사용한 것.
- 따라서 (\frac{dT}{dt}T^{-1} = \omega J)에서 곧바로
[ T\frac{dT^{-1}}{dt} = -\omega J ] 로 넘어갈 수 있습니다.
- 부호가 달라지는 이유는 바로 이 항등식 때문입니다.
✅ 정리하면:
행렬은 교환법칙이 성립하지 않지만, (T T^{-1} = I)라는 관계를 미분하면 두 형태가 정확히 연결되고, 그 과정에서 부호가 바뀌는 것이 핵심입니다.
혹시 원하시면, 제가 실제로 (T(\theta))를 2×2 회전 행렬로 두고 직접 계산해서 이 부호 차이가 어떻게 나타나는지 보여드릴까요?
등가 회로
전체 수식
전압 방정식 (회전 좌표계)
\[
v_{ds}^{\omega} = R_s i_{ds}^{\omega} + \frac{d\lambda_{ds}^{\omega}}{dt} – \omega \lambda_{qs}^{\omega}
\]
\[
v_{qs}^{\omega} = R_s i_{qs}^{\omega} + \frac{d\lambda_{qs}^{\omega}}{dt} + \omega \lambda_{ds}^{\omega}
\]
\[
v_{ns}^{\omega} = R_s i_{ns}^{\omega} + \frac{d\lambda_{ns}^{\omega}}{dt}
\]
토크 방정식 (d–q 좌표계)
\[
T_e = \frac{3}{2}p(\lambda_d i_q – \lambda_q i_d)
\]
\[
T_e = \frac{3}{2}p \lambda_d i_q \quad (\lambda_q = 0)
\]
단위 해석
\[
\omega = \frac{d\theta}{dt}, \quad [\omega] = \mathrm{rad}/\mathrm{s}
\]
\[
[\lambda] = \mathrm{Wb} = \mathrm{V}\cdot \mathrm{s}
\]
\[
[\omega \lambda] = (\mathrm{rad}/\mathrm{s}) \cdot (\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}) = \mathrm{V}\cdot \mathrm{rad} \to \mathrm{V}
\]
