109회 문제
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[제어공학] 2차 시스템 공진 주파수 공식 유도, 5분 만에 마스터하기!
안녕하세요! 오늘은 제어공학과 신호처리에서 자주 등장하는 ‘2차 시스템의 공진 주파수(Resonant Frequency) 유도법’을 정리해 보려고 합니다.
시험 공부나 전공 면접을 준비할 때 매번 헷갈리는 공식 중 하나인데요, 복잡한 계산 없이 ‘분모 미분’ 하나만으로 가장 쉽게 유도하는 방법을 알려드릴게요!
1. 2차 시스템 기본형 이해하기
기본적인 2차 시스템의 전달함수 $$H(s)$$는 다음과 같이 정의됩니다.
$$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$
- $$\omega_n$$: 고유 진동수 (Natural Frequency)
- $$\zeta$$: 제동비 (Damping Ratio)
우리가 구하고자 하는 목적지는 바로 공진 주파수 공식인 $$\omega_r = \omega_n \sqrt{1 – 2\zeta^2}$$ 입니다. 지금부터 차근차근 유도해 보겠습니다.
2. 주파수 응답 크기 함수 구하기
시스템의 주파수 특성을 보기 위해 $$s$$ 자리에 $$j\omega$$를 대입합니다.
$$H(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{( \omega_n^2 – \omega^2 ) + j( 2\zeta\omega_n\omega )}$$
이 복소수 식의 크기(Magnitude) 함수 $$M(\omega)$$를 구하면 다음과 같습니다. (분모의 크기는 실수부 제곱 + 허수부 제곱에 루트를 씌운 값입니다.)
$$M(\omega) = |H(j\omega)| = \frac{\omega_n^2}{\sqrt{(\omega_n^2 – \omega^2)^2 + (2\zeta\omega_n\omega)^2}}$$
3. 핵심 치트키: 분모 최소화하기
전체 크기 $$M(\omega)$$가 최대(공진)가 되려면, 분모가 최소가 되어야 합니다.
계산을 편하게 만들기 위해 루트 안의 식만 쏙 빼내서 $g(\omega)$라고 지정하겠습니다.
$$g(\omega) = (\omega_n^2 – \omega^2)^2 + 4\zeta^2\omega_n^2\omega^2$$
이제 이 $$g(\omega)$$ 함수가 최소가 되는 $$\omega$$ 지점을 찾으면 끝입니다!
4. 딱 한 번만 미분하기
함수의 최솟값을 찾기 위해 $$\omega$$에 대해 미분을 진행하고, 그 값을 $$0$$으로 둡니다. ($$\frac{dg}{d\omega} = 0$$)
$$\frac{dg}{d\omega} = 2(\omega_n^2 – \omega^2) \cdot (-2\omega) + 8\zeta^2\omega_n^2\omega = 0$$
식을 정리하기 위해 식 전체를 $$-4\omega$$로 나누어 줍니다. ($$\omega \neq 0$$ 가정)
$$(\omega_n^2 – \omega^2) – 2\zeta^2\omega_n^2 = 0$$
우리가 찾고 싶은 것은 주파수($$\omega$$)이므로, $$\omega^2$$에 대해 식을 이항합니다.
$$\omega^2 = \omega_n^2 – 2\zeta^2\omega_n^2$$ $$\omega^2 = \omega_n^2(1 – 2\zeta^2)$$
5. 최종 공진 주파수 공식 완성!
양변에 루트를 씌워주면 우리가 원하는 최종 공진 주파수($\omega_r$)가 도출됩니다.
$$\omega_r = \omega_n \sqrt{1 – 2\zeta^2}$$
💡 여기서 잠깐! 중요한 합격 포인트 (조건문)
루트 안의 값($$1 – 2\zeta^2$$)은 반드시 양수여야 실수가 됩니다.
즉, $$1 – 2\zeta^2 > 0$$ 이어야 하므로 다음 조건이 성립합니다.
$$\zeta < \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$
제동비 $$\zeta$$가 $$0.707$$보다 작을 때만 시스템에 실제 공진 피크(Peak)가 존재하며, 그보다 크면 공진 현상 없이 부드럽게 감쇠합니다. 전공 시험 단골 퀴즈이니 꼭 함께 외워두세요!
한 줄 요약
“2차 시스템 주파수 크기 식의 분모를 미분해서 0이 되는 지점을 찾으면 공진 주파수가 나온다!”
궁금한 점이나 이해가 안 되는 부분은 댓글로 편하게 남겨주세요. 도움이 되셨다면 공감과 이웃추가 부탁드립니다! 🙂
이 포스팅 내용에 더해 공진 정점(Resonant Peak, $$M_r$$) 공식 유도 과정이나 보드선도(Bode Plot) 시각화 예시도 추가하고 싶으신가요? 의견을 말씀해 주시면 내용을 더 확장해 드리겠습니다.