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산업계측제어기술사

full state feedback reference input

https://lpsa.swarthmore.edu/Representations/SysRepTransformations/TF2SS.html

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Feedback control of Dynamic Systems의 7.5.2 Introducing the Reference Input with Full-State Feedback

여기 참조

C matrix는 X에 tau와 t에 대하여 상수로 취급.

10-expm다운로드
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Full-State Feedback Reference Input

State Feedback · Reference Input · Transfer Function · Steady-State Error · Reference Scaling

1. 기본 상태방정식

ẋ = Ax + Bu
y = Cx

여기서 상태벡터 x, 입력 u, 출력 y를 사용한다.

초기조건은 0으로 가정한다.

x(0) = 0

2. 입력 u에서 출력 y까지의 전달함수

상태방정식에 Laplace Transform을 적용한다.

sX(s) – x(0) = AX(s) + BU(s)

x(0)=0이므로

(sI-A)X(s) = BU(s)
X(s) = (sI-A)-1BU(s)

따라서

X(s)/U(s) = (sI-A)-1B

출력식 y=Cx를 적용하면

Y(s) = C(sI-A)-1BU(s)
Y(s)/U(s) = C(sI-A)-1B
상태공간 모델의 전달함수는 G(s)=C(sI-A)-1B 로 구할 수 있다.

3. 상태전이행렬과의 관계

상태전이행렬은

Φ(t) = eAt

이다.

또한

ℒ{eAt} = (sI-A)-1

이므로

ℒ-1 {(sI-A)-1} = eAt

입력이 존재할 때 상태응답은

x(t) = ∫0t eA(t-τ) B u(τ)dτ

이고 출력은

y(t) = C ∫0t eA(t-τ) B u(τ)dτ
(sI-A)-1는 s-domain의 표현이고, eAt는 time domain의 상태전이행렬이다.

4. Full-State Feedback

기본 전상태 피드백은

u = -Kx

로 표현한다.

이를 상태방정식에 대입하면

ẋ = Ax + B(-Kx)
ẋ = (A-BK)x
K를 설계하면 closed-loop state matrix A-BK의 pole을 배치할 수 있다.

5. Reference Input 추가

기준입력 r을 추가하면 단순하게

u = -Kx + r

로 생각할 수 있다.

그러나 이 방식은 일반적으로 step reference에 대해 정상상태 오차가 발생할 수 있다.

Pole Placement로 transient response를 설계해도 reference tracking의 steady-state error가 자동으로 0이 되는 것은 아니다.

6. Reference Scaling을 포함한 제어입력

기준입력을 스케일링하여

u = -Kx + N̄r

로 구성한다.

여기서 N̄은 reference input에 곱하는 constant gain이다.

N̄은 state-feedback gain K와 별개로 reference tracking의 정상상태 값을 맞추기 위한 gain이다.

7. Reference Input에 대한 Closed-Loop 상태방정식

제어입력

u = -Kx + N̄r

을 상태방정식에 대입한다.

ẋ = Ax + B(-Kx + N̄r)

정리하면

ẋ = (A-BK)x + BN̄r

Laplace Transform하면

sX(s) = (A-BK)X(s) + BN̄R(s)
[sI-A+BK]X(s) = BN̄R(s)

따라서

X(s) = [sI-A+BK]-1 BN̄R(s)

8. Reference Input r → Output y 전달함수

출력은

Y(s) = CX(s)

이므로

Y(s) = C [sI-A+BK]-1 BN̄R(s)

따라서 기준입력과 출력 사이 전달함수는

Y(s)/R(s) = C [sI-A+BK]-1 BN̄
Full-State Feedback + Reference Scaling에서 r → y 전달함수는 C[sI-A+BK]-1BN̄이다.

9. 교재의 Steady-State Reference 설정

교재에서는 원하는 정상상태 상태값과 입력값을 각각 xss, uss로 둔다.

u = uss – K(x-xss)

정상상태에서

x = xss

이면

u = uss

가 된다.

10. 정상상태 방정식

일반 시스템을

ẋ = Fx + Gu
y = Hx + Ju

로 나타낸다.

정상상태에서는

ẋ = 0

이므로

0 = Fxss + Guss
yss = Hxss + Juss

11. Nx와 Nu

정상상태 출력이 reference와 같도록

yss = rss

로 둔다.

정상상태 상태와 입력을

xss = Nxrss
uss = Nurss

로 설정한다.

정상상태 방정식에 대입하면

[ F    G
H    J ] [ Nx
Nu ] = [ 0
1 ]

따라서

[ Nx
Nu ] = [ F    G
H    J ]-1 [ 0
1 ]

12. N̄ 유도

제어입력은

u = Nur – K(x-Nxr)

이다.

전개하면

u = -Kx + (Nu + KNx)r

따라서

N̄ = Nu + KNx

로 정의한다.

u = -Kx + N̄r
N̄ = Nu + KNx이며, step reference의 정상상태 오차를 제거하기 위한 reference gain이다.

13. Block Diagram 의미

교재의 블록선도에서는 reference r이 두 경로로 나뉜다.

r → Nu
r → Nx

두 항을 정리하면 하나의 reference gain N̄으로 표현할 수 있다.

N̄ = Nu + KNx

결과적으로 블록선도는

r → N̄ → (+) → u → Plant → y

와 state feedback

x → -K → (+)

의 구조로 단순화된다.

14. C Matrix의 의미

원문 필기에서는 출력식을

y = Cx

로 두고, C matrix가 상태벡터에서 필요한 상태를 선택한다고 정리한다.

예를 들어

C = [ 1   0   …   0 ]

이면

y = x1

이 된다.

C matrix는 상태벡터 x에서 출력으로 사용할 상태의 조합을 결정한다.

15. 주요 관계식 정리

항목 관계식
State Equation ẋ = Ax + Bu
Output Equation y = Cx
State → Transfer Function Y/U = C(sI-A)-1B
State Transition Matrix Φ(t)=eAt
Full-State Feedback u=-Kx
Reference Input 포함 u=-Kx+N̄r
Closed-Loop State Equation ẋ=(A-BK)x+BN̄r
Reference → Output Y/R=C(sI-A+BK)-1BN̄
Reference Gain N̄=Nu+KNx

16. 핵심 기억 문장

  1. 상태공간의 전달함수는 C(sI-A)-1B이다.
  2. 상태전이행렬은 Φ(t)=eAt이다.
  3. Full-State Feedback은 u=-Kx로 구성한다.
  4. 단순히 u=-Kx+r로 reference를 추가하면 step 입력에 정상상태 오차가 발생할 수 있다.
  5. 정상상태 reference tracking을 위해 u=-Kx+N̄r 형태를 사용한다.
  6. N̄=Nu+KNx이다.
  7. reference r에서 출력 y까지의 전달함수는 C(sI-A+BK)-1BN̄이다.
Full-State Feedback, Reference Input, State Space, State Transition Matrix, Pole Placement, Reference Scaling, Nbar, Nx, Nu, Steady-State Error, Transfer Function
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