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sensitivity

S: sensitivity, T: transfer function의 변화량, G: gain

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Sensitivity

Sensitivity · Open Loop · Closed Loop · Plant Gain · Filter · Sensor Gain

1. Sensitivity 정의

시스템의 전달함수 T가 어떤 파라미터 G의 변화에 얼마나 민감하게 변하는지를 Sensitivity로 나타낸다.

SGT = (ΔT/T) / (ΔG/G)

미소 변화로 표현하면

SGT = (G/T) · (∂T/∂G)
Sensitivity는 파라미터의 상대변화에 대한 전달함수의 상대변화를 나타낸다.

2. Open-Loop Sensitivity

Open-loop에서 controller gain을 Dol, plant gain을 G라고 하면

Tol = GDol

Plant gain이

G → G + δG

로 변하면

Tol + δTol = Dol(G+δG)
= DolG + DolδG

따라서

δTol = DolδG

상대변화는

δTol/Tol = δG/G

그러므로

SGTol = 1
Open-loop에서는 plant gain이 10% 변하면 전체 gain도 10% 변한다.

3. Closed-Loop Transfer Function

Feedback system의 closed-loop gain은

Tcl = GDcl / (1+GDcl)

이다.

일반적인 controller를 D, feedback을 H로 두면

T = GD / (1+GDH)

4. Plant Gain G에 대한 Closed-Loop Sensitivity

Sensitivity 정의를 적용한다.

SGT = (G/T) · (∂T/∂G)

Closed-loop 전달함수

T = GD / (1+GDH)

를 G에 대해 미분하면

∂T/∂G = D / (1+GDH)2

따라서

SGT = 1 / (1+GDH)

Unity Feedback에서 H=1이면

SGT = 1 / (1+GD)
Loop Gain GDH가 커질수록 plant parameter 변화에 대한 closed-loop sensitivity는 작아진다.

5. Feedback의 장점

Open Loop

S = 1
Closed Loop

S = 1/(1+Loop Gain)

따라서 loop gain이 충분히 크면

GDH ≫ 1

이고

SGT ≈ 1/(GDH)

가 된다.

Negative Feedback은 plant gain 변화에 대한 closed-loop system의 민감도를 감소시킨다.

6. Filter F에 대한 Sensitivity

Filtered closed-loop system에서는 reference filter F가 전달함수의 분자에 직접 포함된다.

T = FGD / (1+GDH)

F에 대한 sensitivity는

SFT = (F/T) · (∂T/∂F)

이고

∂T/∂F = GD / (1+GDH)

따라서

SFT = 1
Reference filter F의 변화는 전달함수에 그대로 반영되므로 sensitivity는 1이다.

7. Plant G에 대한 Sensitivity

Filter가 포함되어도 plant G에 대한 sensitivity는 다음과 같다.

SGT = 1 / (1+GDH)

즉 feedback loop gain이 커지면 plant gain variation의 영향을 줄일 수 있다.

8. Sensor H에 대한 Sensitivity

전달함수는

T = FGD / (1+GDH)

이다.

H에 대한 미분은

∂T/∂H = -FG2D2 / (1+GDH)2

따라서

SHT = (H/T) · (∂T/∂H)
SHT = -GDH / (1+GDH)

Loop Gain이 매우 크면

GDH ≫ 1

이므로

SHT ≈ -1
Loop Gain을 증가시키면 plant variation에 대한 sensitivity는 감소하지만, sensor gain 변화에 대한 sensitivity의 크기는 1에 가까워진다.

9. Sensor가 중요한 이유

원문에서는 sensor H에 대한 sensitivity가 특히 중요하다고 설명한다.

큰 loop gain에서는

SHT → -1

이므로 sensor gain의 변화가 closed-loop response에 직접적인 영향을 줄 수 있다.

Feedback으로 plant variation은 억제할 수 있지만, sensor 특성은 안정적이어야 한다.

원문의 설명처럼 sensor는 noise가 작아야 할 뿐 아니라 gain도 안정적이어야 한다.

10. Parameter별 Sensitivity 비교

Parameter Sensitivity 특징
Open-loop Plant G 1 Plant 변화가 출력에 그대로 반영
Closed-loop Plant G 1/(1+GDH) Feedback에 의해 감소
Filter F 1 Filter 변화가 직접 반영
Sensor H -GDH/(1+GDH) 큰 loop gain에서 -1에 접근

11. 예제 — Ka에 대한 Sensitivity

포스트의 문제에서는 다음 구조의 closed-loop system을 제시한다.

R → Ka → G → C

Feedback path에는 Kb가 존재한다.

Closed-loop transfer function은

T = C/R
T = KaG / (1+GKb)

Ka에 대한 sensitivity는

SKaT = (Ka/T) · (∂T/∂Ka)

이다.

Ka는 분자에 단순 곱으로 존재하므로

∂T/∂Ka = G/(1+GKb)

따라서

SKaT = 1
Feedback loop 밖에 있는 forward gain Ka의 상대변화는 closed-loop 전달함수에 그대로 반영된다.

12. Sensitivity 계산식 정리

SPT = (ΔT/T) / (ΔP/P)

미분형으로는

SPT = (P/T) · (∂T/∂P)

여기서 P는 sensitivity를 구하려는 임의의 parameter이다.

① T를 구한다.

② 관심 parameter P에 대해 ∂T/∂P를 구한다.

③ (P/T)(∂T/∂P)를 계산한다.

13. 핵심 공식

항목 식
Sensitivity 정의 SPT = (P/T)(∂T/∂P)
Open Loop SGT = 1
Closed-loop Transfer Function T = GD/(1+GDH)
Plant Sensitivity SGT = 1/(1+GDH)
Filter Sensitivity SFT = 1
Sensor Sensitivity SHT = -GDH/(1+GDH)

14. 핵심 기억 문장

  1. Sensitivity는 parameter의 상대변화에 대한 transfer function의 상대변화이다.
  2. SPT = (P/T)(∂T/∂P)이다.
  3. Open-loop에서 plant gain에 대한 sensitivity는 1이다.
  4. Negative Feedback에서는 plant sensitivity가 1/(1+GDH)로 감소한다.
  5. 따라서 loop gain이 클수록 plant parameter 변화에 강인해진다.
  6. Filter F에 대한 sensitivity는 1이다.
  7. Sensor H에 대한 sensitivity는 -GDH/(1+GDH)이며, 큰 loop gain에서는 -1에 접근한다.
  8. Feedback은 plant variation을 줄여주지만 sensor gain의 안정성은 매우 중요하다.
Sensitivity, Transfer Function, Open Loop, Closed Loop, Negative Feedback, Loop Gain, Plant Gain, Filter, Sensor Gain, Robustness
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