Filter gain ( F )은 부하의 응답, 특히 참조 입력 ( R )이 출력 ( Y )에 어떻게 영향을 주는지를 조절하는 역할을 합니다. 식 (4.19)을 다시 보면
[ Y = \frac{G D_{cl} F}{1 + G D_{cl} H} R + \frac{G}{1 + G D_{cl} H} W – \frac{H G D_{cl}}{1 + G D_{cl} H} V, ]
여기서 ( F )는 ( R )에 곱해져서 첫 번째 항, 즉 참조 추적 성능을 결정합니다.
아래에서 ( F )의 역할과 의미를 자세하게 설명합니다:
- 참조 입력의 전처리 역할:
( F )는 참조 신호 ( R )에 대해 전처리(또는 필터링)를 수행하는 역할을 합니다. 즉, ( R )에 ( F )를 곱하여 ( G D_{cl} )와 함께 폐루프의 동작에 반영시킵니다. 이를 통해 원하는 트래킹 특성을 얻기 위해 입력 신호의 스펙트럼이나 동적 특성을 조절할 수 있습니다. - 전체 루프 전달함수의 수정:
일반적인 폐루프 전달함수는 [ \frac{G D_{cl}}{1 + G D_{cl} H} ] 로 표현됩니다. 그런데 ( F )를 포함하면 참조 입력과 출력 사이의 전달 함수는 [ \frac{G D_{cl} F}{1 + G D_{cl} H} ] 로 변하게 되어, ( F )가 추가적인 자유도를 제공하는 셈입니다. ( F )를 적절히 설계함으로써 원래의 open-loop 컨트롤러 ( G D_{cl} )에 추가적인 필터 효과를 부여할 수 있고, 이를 통해 원하는 응답 특성(예를 들어, 과도 응답의 평활화, 리드 혹은 레그 보상)이 구현됩니다. - Unity Feedback 구조와의 비교:
만약 ( F )를 센서 전달함수 ( H )와 동일하게 선택하면 (( F = H )), 식은
[ \frac{G D_{cl} H}{1 + G D_{cl} H} ] 형태가 되어 전형적인 unity feedback 시스템과 유사하게 동작합니다. 이렇게 하면 센서 동특성과 전처리 특성이 일치하게 되어, 분석이나 튜닝이 단순해지는 효과를 볼 수 있습니다.
반대로 ( F \neq H )인 경우, 필터 ( F )의 특성에 따라 참조 추적 응답이 달라지게 됩니다. - 실제 설계에서의 고려사항:
- 설계 자유도: ( F )는 엔지니어에게 참조 입력에 따른 시스템 응답을 세밀하게 조절할 수 있는 추가적인 설계 파라미터를 제공합니다.
- 성능 및 안정성 사이의 균형: ( F )를 어떻게 설정하는지에 따라 폐루프 시스템의 과도 응답, 주파수 응답, 그리고 외란 억제 특성이 달라집니다. 따라서, ( F )의 선택은 단순히 이상적인 응답을 만드는 것뿐만 아니라, 실제 플랜트의 동특성과 센서 노이즈, 그리고 구현상의 제약 조건을 모두 고려하여 결정되어야 합니다.
요약하면, filter gain ( F )는 참조 입력에 필터링 효과를 부여하여 전체 폐루프 전달함수를 수정하고 원하는 트래킹 및 응답 특성을 구현할 수 있도록 해주는 중요한 역할을 합니다. 이는 open-loop와 unity feedback 시스템의 장점을 결합하는 역할을 하며, 적절한 ( F )의 선택은 설계자가 목표로 하는 성능과 시스템의 안정성을 균형 있게 맞추는 데 큰 영향을 미칩니다.
이와 관련해 구체적인 사례나 추가적인 해석이 필요하시면 말씀해주세요!
“`htmlFeedback System
1. Filter가 없는 Feedback System
NeoStudio에서는 먼저 Filter가 없는 Feedback System을 정리한다.
+ +
R ────────▶ (Σ) ──▶ D ────────▶ (Σ) ──▶ G ───────▶ Y
- +▲
▲ │
│ W
│
│ + V
│ │
└──────────────────(Σ)◀──────── Y
- R : Reference
- D : Controller
- G : Plant
- W : 외란
- V : Sensor Noise
- Y : Output
2. 출력 Y
기준입력 R, 외란 W, Sensor Noise V가 동시에 존재할 때 출력 Y를 다음과 같이 기록한다.
3. Superposition
NeoStudio에서는 각 입력의 영향을 Superposition으로 각각 분리한다.
하나의 입력만 남기고 나머지 입력을 0으로 두어 Y에 대한 전달함수를 구한다.
4. Reference R → Output Y
W=0, V=0으로 두면 Reference R에 대한 출력은
로 기록되어 있다.
5. Disturbance W → Output Y
R=0, V=0으로 두면 외란 W에 대한 출력은
로 기록되어 있다.
6. Sensor Noise V → Output Y
R=0, W=0으로 두면 Sensor Noise V가 출력에 미치는 영향은
로 기록되어 있다.
7. 세 입력의 영향
| 입력 | 출력 Y에 대한 전달함수 |
|---|---|
| Reference R | DG/(1+DG) |
| Disturbance W | G/(1+DG) |
| Sensor Noise V | -DG/(1+DG) |
8. Error
Error는 Reference와 Output의 차이로 기록한다.
앞의 Y 식을 이용하면 NeoStudio에서는 Error를 다음 관계로 정리한다.
9. Filter와 Sensor Dynamics가 있는 경우
두 번째 페이지에서는 Reference 앞에 Filter F를 추가하고, Feedback 경로에 Sensor Dynamics H를 추가한다.
R ──▶ F ──▶ (+Σ-) ──▶ D ──▶ (+Σ) ──▶ G ─────▶ Y
▲ ▲
│ │
│ W
│
│ Y + V
│ │
└──── H ◀─(Σ)
- F : Reference Filter
- H : Sensor Dynamics
10. Filter F와 Sensor H가 있는 출력식
NeoStudio에 기록된 출력은 다음과 같다.
11. Reference 전달함수
Reference에서 Output까지의 전달함수는
로 기록되어 있다.
12. F의 역할
NeoStudio에서는 Transfer Function을 조정하기 위해 F를 설계할 수 있다고 기록한다.
13. F = H
원본에는 F와 H를 같게 두면 Unity Feedback System과 유사한 형태로 단순하게 설계할 수 있다는 메모가 있다.
14. Disturbance와 Sensor Noise
Filter와 Sensor Dynamics를 포함해도 W와 V는 출력에 영향을 준다.
원본에서는 W와 V가 Error에 포함되기 때문에 Feedback을 이용하여 개선할 수 있다는 방향으로 기록한다.
15. Sensitivity
세 번째 페이지에서는 Closed-Loop Transfer Function T가 각 구성요소 변화에 얼마나 영향을 받는지를 Sensitivity로 정리한다.
원본에서는 T를 G, F, H에 대해 미분하여 각각의 Sensitivity를 계산하는 방법을 기록한다.
16. Sensitivity의 읽는 방법
NeoStudio에는 Transfer Function T에 대해 다음과 같이 각 Parameter의 영향을 계산한다고 적혀 있다.
이를 정규화한 Sensitivity로 각 구성요소 변화의 영향을 비교한다.
17. Filter F의 Sensitivity
F는 전달함수 T의 분자에 직접 곱해져 있다.
NeoStudio에 기록된 F에 대한 Sensitivity는
이다.
18. Plant G의 Sensitivity
Plant G는 Feedback Loop 내부에 존재한다.
G에 대한 Sensitivity는 다음과 같이 기록되어 있다.
19. Sensor H의 Sensitivity
Sensor Dynamics H는 Feedback 경로에 포함된다.
H에 대한 Sensitivity는 다음과 같이 기록되어 있다.
NeoStudio에서는 H의 변화가 전달함수에 반대방향으로 영향을 미친다고 기록한다.
20. Sensitivity 비교
| 구성요소 | Sensitivity | 원본 해석 |
|---|---|---|
| F | SFT = 1 | F 변화가 T에 직접 반영 |
| G | SGT = 1/(1+DGH) | Loop 안에 있어 영향 감소 |
| H | SHT = -DGH/(1+DGH) | Feedback 경로에서 반대방향 영향 |
21. Feedback과 Plant 변화
NeoStudio의 핵심은 Plant G가 Feedback Loop 내부에 있으면 Plant 특성 변화가 출력 전달함수에 미치는 영향을 줄일 수 있다는 것이다.
22. 전체 관계
Reference R
│
▼
Filter F
│
▼
Error Sum
│
▼
Controller D
│
▼
+ Disturbance W
│
▼
Plant G
│
▼
Output Y
│
+ Sensor Noise V
│
▼
Sensor Dynamics H
│
└─────── Feedback
Closed-Loop Transfer
│
▼
T = DFG/(1+DGH)
│
┌──────────┼──────────┐
▼ ▼ ▼
F G H
│ │ │
S=1 1/(1+DGH) -DGH/(1+DGH)
23. NeoStudio 핵심 정리
| 항목 | NeoStudio 내용 |
|---|---|
| Controller | D |
| Plant | G |
| Reference | R |
| Disturbance | W |
| Sensor Noise | V |
| Filter 없는 R→Y | DG/(1+DG) |
| Filter 없는 W→Y | G/(1+DG) |
| Filter 없는 V→Y | -DG/(1+DG) |
| Error | E = R – Y |
| Filter/Sensor 포함 | T = DFG/(1+DGH) |
| F Sensitivity | 1 |
| G Sensitivity | 1/(1+DGH) |
| H Sensitivity | -DGH/(1+DGH) |