Laplace Transform
Laplace Transform · Frequency Shift · Step Input · Convolution
1. 문제 10
시간함수
f(t) = e-t cos 3t
의 Laplace Transform F(s)를 구하는 문제이다.
2. cos 함수의 Laplace Transform
NeoStudio 필기에서는 먼저 다음 기본 변환쌍을 사용한다.
cos ωt
↔
s / (s² + ω²)
여기서 ω = 3이다.
cos 3t
↔
s / (s² + 3²)
3. Frequency Shift 성질
필기에서는 e-λt가 곱해진 경우 s를 s+λ로 이동시키는 성질을 사용한다.
f(t)
↔
F(s)
e-λt f(t)
↔
F(s+λ)
이 문제에서는
λ = 1
4. NeoStudio 필기의 계산
원본 필기에는 다음과 같이 계산되어 있다.
e-t cos 3t
→
s / {(s+1)² + 3²}
=
s / (s² + 2s + 10)
원본 필기는 Frequency Shift 성질을
F(s+1)로 설명하면서도,
최종 분자의 s는 s+1로 바꾸지 않았다.
따라서 위 식은 NeoStudio 원본을 그대로 보존한 것이다.
원본 내부에서 성질 설명과 최종 계산 사이에
불일치가 있다.
5. 원본 성질을 그대로 적용한 관계
필기에 적힌 Shift 성질
e-λtf(t)
↔
F(s+λ)
만을 그대로 대입하면 cos 3t의 F(s)에 있는 모든 s를 s+1로 치환하는 구조가 된다.
cos 3t
│
▼
F(s)
│
│ e^(-t) 곱함
▼
F(s+1)
이 절은 새로운 외부 공식을 추가한 것이 아니라,
NeoStudio 페이지 자체에 적힌
F(s+λ) 관계와 최종식의 차이를 드러내기 위한 것이다.
6. 문제 11
단위계단 입력함수 u(t)에 대하여
G(s)
=
1 / (s+1)
로 표현되는 선형시스템의 출력 y(t)를 Convolution으로 구하는 문제이다.
Y(s)
=
{1/(s+1)} U(s)
7. Unit Step Input
NeoStudio 필기에서는 단위계단 입력을 다음과 같이 둔다.
u(t)
=
Step Input
U(s)
=
1/s
8. 전달함수
G(s)
=
1/(s+1)
따라서
G(s)U(s)
=
1/(s+1)
·
1/s
9. Impulse Response
NeoStudio 필기에서는 G(s)의 역 Laplace Transform을 다음과 같이 사용한다.
L-1
{
1/(s+1)
}
=
e-t
단위계단 입력은 시간영역에서 1이므로 출력은 두 함수의 Convolution으로 표현한다.
y(t)
=
e-t * 1
10. Convolution
필기의 계산은 다음 흐름이다.
e-t * 1
=
∫0t
e-τdτ
=
[
-e-τ
]0t
=
-e-t – (-1)
=
1 – e-t
11. 출력 응답
y(t)
=
1 – e-t
Step Input
│
▼
U(s) = 1/s
│
▼
G(s) = 1/(s+1)
│
▼
g(t) = e^(-t)
│
▼
y(t) = g(t) * u(t)
│
▼
∫₀ᵗ e^(-τ)dτ
│
▼
y(t) = 1 - e^(-t)
Laplace 영역의 곱은
시간영역에서는 Convolution으로 연결된다.
12. 두 문제의 연결
| 문제 | 핵심 성질 | NeoStudio 내용 |
|---|---|---|
| 10번 | Frequency Shift | e-λtf(t) ↔ F(s+λ) |
| 11번 | Convolution | G(s)U(s) ↔ g(t)*u(t) |
13. NeoStudio PDF 전체 흐름
[문제 10]
cos 3t
│
▼
s/(s²+3²)
│
│ × e^(-t)
▼
Frequency Shift
│
▼
F(s+1)
[문제 11]
U(s)=1/s
│
+
│
G(s)=1/(s+1)
│
▼
Time Domain
│
▼
e^(-t) * 1
│
▼
∫₀ᵗe^(-τ)dτ
│
▼
1-e^(-t)
14. 이미지 및 NeoStudio 핵심 정리
| 항목 | 원본 내용 |
|---|---|
| cos 변환 | s/(s²+ω²) |
| Frequency Shift | e-λtf(t) → F(s+λ) |
| λ | 1 |
| Unit Step | U(s)=1/s |
| System | G(s)=1/(s+1) |
| Impulse Response | e-t |
| Convolution | e-t*1 |
| 출력 | 1-e-t |
이 HTML은 페이지 본문 설명을 사용하지 않고,
일반 문제 이미지 1장과
NeoStudio PDF 1개(1페이지)만 OCR/시각 판독하여 작성했다.
일반 이미지에는 문제 10번과 11번이 제시되어 있고,
NeoStudio PDF에는 두 문제의 손글씨 풀이가 기록되어 있다.
문제 10의 손글씨 풀이에서는
e^(-λt)f(t) ↔ F(s+λ) 성질을 적었지만,
최종식의 분자에는 s+1이 아니라 s를 사용하였다.
이 불일치는 임의로 수정하지 않고
원본식과 원본 성질을 함께 보존하여 표시하였다.
문제 11의 Convolution 계산은
원본에서 최종적으로
y(t)=1-e^(-t)로 정리되어 있다.
Laplace Transform,
Frequency Shift,
First Shifting Theorem,
cos,
Unit Step,
Step Input,
Transfer Function,
Convolution,
Impulse Response,
Linear System,
Time Response