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RLC, MCK, QT

NeoStudio_20240506_212654다운로드

mck는 자연스럽게 풀 수 있음. 최고 차항이 이미 왼쪽에 있으므로. RLC는 s를 양 항에 곱해야 하는데, 살짝 헷갈림. 출력을 정하지 않고 있다 마지막에 s*i(t)를 출력으로 사용.

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RLC · MCK 유사관계

RLC Circuit · Mass Spring Damper · 2차 시스템 · State Space · Mechanical-Electrical Analogy

1. 문제

전기계 RLC 회로와 기계계 Mass-Spring-Damper 시스템의 유사관계를 설명하는 문제이다.

전기계

          E
          │
          L
          │
          C
          │
          R
          │
        Current i

기계계

              f
              ↑
            [ m ]
           /     \
          k       D
          │       │
        Ground  Ground

        Output : x

2. 기계계 MCK 시스템

NeoStudio에서는 먼저 질량-스프링-댐퍼 시스템을 정리한다.

F = ma
a = d²x/dt²
Spring : F = kx
Damper : F = D dx/dt

3. MCK의 힘 평형

외부에서 힘 f(t)가 작용하고, 출력은 변위 x이다. 

             f(t)
              ↑
            [ m ]
             │
        ┌────┴────┐
        │         │
        k         D
        │         │
      Ground    Ground

원본 필기의 힘 평형은 다음 형태로 정리된다.

m d²x/dt² + D dx/dt + kx = f(t)
MCK 시스템은 질량항 + 감쇠항 + 스프링항 = 외력 형태의 2차 시스템이다.

4. MCK의 정규화 형태

양변을 m으로 나누면

d²x/dt² + (D/m) dx/dt + (k/m)x = (1/m)f(t)

즉, 최고차 미분항을 기준으로 2차 미분방정식을 정리한다.

5. MCK의 상태변수 선택

상태변수를 변위와 속도로 둔다.

x₁ = dx/dt
x₂ = x

그러면

d/dt [ dx/dt ; x ] = [ -D/m -k/m ; 1 0 ] [ dx/dt ; x ] + [ 1/m ; 0 ] f(t)
원본 손글씨는 행렬의 첫 항 부호가 다소 흐리지만, 위 미분방정식과 연결되는 형태를 기준으로 옮겼다.

6. RLC 시스템

NeoStudio에서는 직렬 RLC 회로에서 입력을 E(t), 전류를 i(t)로 두고 식을 작성한다. 

            L
      ┌────coil────┐
      │            │
     E(t)          C
      │            │
      │            R
      └────────────┘
             i(t)
E(t) = L di/dt + (1/C) ∫ i(t)dt + R i(t)

7. RLC 각 소자의 관계

Resistor : V = Ri
Capacitor : i = C dV/dt
V_C = (1/C) ∫ i dt
Inductor : V_L = L di/dt
RLC에서는 R·i, (1/C)∫i dt, L·di/dt가 각각 전압 성분으로 합쳐진다.

8. RLC를 2차식으로 변환

원본에서는 적분항을 제거하기 위해 양변에 s를 곱하는 형태로 전개한다.

E(t) = L di/dt + (1/C) ∫ i(t)dt + Ri(t)
sE(t) = Ls² i(t) + Rs i(t) + (1/C)i(t)
i(t) { Ls² + Rs + 1/C } = sE(t)

9. RLC 전달관계

따라서 원본에서는 다음 형태로 정리한다.

i(t) / E(t) = s / { Ls² + Rs + 1/C }

출력은 최종적으로 s·i(t)를 사용하는 방향으로 기록되어 있다.

10. RLC 정규화 형태

최고차항 계수 L로 나누면

s² i(t) + (R/L)s i(t) + (1/LC)i(t) = (1/L)sE(t)

이는 MCK의

d²x/dt² + (D/m)dx/dt + (k/m)x = (1/m)f(t)

와 같은 2차 구조를 갖는다.

11. RLC 상태변수 표현

NeoStudio에서는 상태벡터를 다음 형태로 적는다.

X = [ s i(t) ; i(t) ]

이를 시간영역 의미로 보면

X = [ di/dt ; i ]

형태에 대응한다.

12. RLC 상태공간 행렬

d/dt [ di/dt ; i ] = [ -R/L -1/(LC) ; 1 0 ] [ di/dt ; i ] + [ 1/L ; 0 ] E(t)

출력은 원본에서 다음과 같이 기록되어 있다.

y(t) = s i(t) = [ 1 0 ] [ s i(t) ; i(t) ]

13. RLC와 MCK 계수 대응

NeoStudio의 최종 대응관계는 다음과 같다.

L ↔ m
R ↔ D
1/C ↔ k
Inductance L ↔ Mass m
Resistance R ↔ Damper D
1/Capacitance ↔ Spring Constant k

14. 입력과 출력의 대응

항목 기계계 MCK 전기계 RLC
입력 Force f(t) Voltage E(t)
상태 1 Velocity dx/dt di/dt 또는 s·i(t)
상태 2 Displacement x Current i(t)
2차 계수 m L
1차 계수 D R
0차 계수 k 1/C

15. 2차 시스템으로서의 유사성

      Mechanical System

      m x¨ + D x˙ + kx = f(t)

               │
               │ 대응
               ▼

      Electrical System

      L i¨ + R i˙ + (1/C)i = 입력항
물리적 의미는 다르지만 두 시스템의 미분방정식 구조는 동일한 2차 형태이다.

16. 열 시스템 QT

일반 이미지에는 없지만 별도 손글씨 이미지에는 열 시스템의 1차 관계도 정리되어 있다.

Q = C dT/dt
Q = (1/R) (T1-T2)

여기서 원본 표기는

Q : 열 유량
C : 열용량
R : 열저항
T : 온도

17. 열 시스템의 1차 관계

NeoStudio와 동일 페이지에 대응하는 일반 필기 이미지에서는 다음 두 식을 이용해 온도 변화를 표현한다.

Q = C dT/dt
Q = (T1-T2)/R
dT/dt = Q/C
열 시스템은 열용량 C와 열저항 R을 이용하여 1차 시스템으로 표현할 수 있다는 내용이다.

18. 전체 대응 구조

          기계계 MCK
               │
      m x¨ + D x˙ + kx
               │
               ▼
       2차 시스템 구조
               ▲
               │
      L i¨ + R i˙ + (1/C)i
               │
          전기계 RLC


          열 시스템 QT
               │
         C dT/dt
               │
               ▼
          1차 시스템

19. 이미지 · NeoStudio 핵심 정리

구분 원본 내용
MCK 기본식 m x¨ + D x˙ + kx = f(t)
MCK 상태 [x˙, x]ᵀ
RLC 기본식 E = L di/dt + (1/C)∫i dt + Ri
RLC 2차 구조 s²i + (R/L)si + (1/LC)i
RLC 상태 [si, i]ᵀ
L ↔ m Inductance ↔ Mass
R ↔ D Resistance ↔ Damper
1/C ↔ k Capacitance 역수 ↔ Spring Constant
열 시스템 Q = C dT/dt, Q = (T1-T2)/R
이 HTML은 페이지 본문을 사용하지 않고, 일반 문제 이미지 1장과 NeoStudio PDF 1개(총 2페이지)를 중심으로 작성했다. 페이지의 일반 이미지 3장 중 손글씨 이미지 2장은 NeoStudio PDF 2페이지와 동일하므로 중복 내용을 한 번만 반영했다. 별도의 손글씨 이미지에 포함된 열 시스템 QT 관계는 중복되지 않는 내용이므로 함께 반영했다. RLC 유도에서 원본은 적분항을 제거하기 위해 s를 곱하고, 최종적으로 s·i(t)를 출력으로 사용하는 흐름이다. 일부 손글씨의 부호와 상태변수 표기는 흐린 부분이 있어 원본에서 명확히 연결되는 L↔m, R↔D, 1/C↔k 대응과 2차 시스템 구조를 중심으로 정리했다.
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