Transmission Zero

State Space · Transfer Function · Pole · Zero · Transmission Zero · Rosenbrock System Matrix

1. State Space 표현

이미지에서는 State Space를 시스템 행렬을 이용하여 표현한다.

ẋ = Ax + Bu

y = Cx

여기서 x는 State를 나타낸다.

2. State Space에서 Transfer Function 유도

첫 번째 이미지에서는 State Space 식을 Laplace 영역으로 변환한다.

sX – x(0) = AX + BU

(sI – A)X = x(0) + BU

X = (sI – A)^-1 {x(0) + BU}

3. 초기조건이 0인 경우

이미지에서는 초기조건을 x(0) = 0으로 설정한다.

Y = CX

Y = C(sI – A)^-1BU

따라서 Transfer Function을 다음과 같이 기록한다.

G(s) = C(sI – A)^-1B

4. Pole

이미지에서는 Pole을 다음 조건으로 기록한다.

det(sI – A) = 0

이후 Eigenvalue와 Eigenvector 관계를 연결한다.

Av = λv

(λI – A)v = 0

Pole은 상태행렬 A의 Eigenvalue와 연결하여 정리되어 있다.

5. Pole과 Zero

첫 번째 이미지에는 Pole과 Zero를 구하여 시스템 특성을 나타낼 수 있다는 메모가 있다.

Pole → det(sI – A) = 0

Zero → Transmission Zero

6. Transmission Zero의 개념

이미지에서는 Transmission Zero를 특정한 입력을 가했을 때 출력이 0이 되도록 만드는 값으로 접근한다.

y(t) = 0

입력은 다음 형태로 설정한다.

u(t) = u₀e^zᵢt

출력이 0이 되도록 하는 zᵢ를 찾는 방향으로 전개한다.

7. Exponential 입력

두 번째 이미지에서는 전달함수 기반에서 지수함수 입력을 사용하는 방향으로 기록한다.

u(t) = u₀e^zᵢt

State도 동일한 지수함수 형태의 Mode로 가정한다.

x(t) = x₀e^zᵢt

이미지에는 State Space의 특정 Mode 활성화라는 메모가 함께 기록되어 있다.

8. State Equation에 대입

다음 형태를 State Equation에 대입한다.

x(t) = x₀e^zᵢt

u(t) = u₀e^zᵢt

따라서

zᵢx₀e^zᵢt = Ae^zᵢtx₀ + Bu₀e^zᵢt

공통인 e^zᵢt를 제거하면 다음 관계가 된다.

(zᵢI – A)x₀ – Bu₀ = 0

9. 출력이 0이 되는 조건

출력식은 두 번째 이미지에서 D항을 포함하여 다음과 같이 기록되어 있다.

y(t) = Cx + Du

Transmission Zero에서는 출력이 0이 되어야 한다.

0 = Cx₀ + Du₀

10. 두 식의 결합

State Equation과 출력 0 조건을 하나의 행렬식으로 결합한다.

      ┌                     ┐ ┌    ┐   ┌   ┐
      │ zᵢI - A      -B     │ │ x₀ │   │ 0 │
      │                     │ │    │ = │   │
      │    C          D     │ │ u₀ │   │ 0 │
      └                     ┘ └    ┘   └   ┘

[ zᵢI-A -B ] [ C D ] [ x₀ ] [ u₀ ] = 0

11. Non-Trivial Solution

이미지에서는 x₀와 u₀가 모두 0이 아닌 해가 존재해야 한다고 기록한다.

x₀, u₀ ≠ 모두 0

이를 만족하려면 결합된 System Matrix의 행렬식이 0이 되어야 하는 것으로 정리한다.

det [ zᵢI – A -B ; C D ] = 0

Transmission Zero는 출력이 0이 되는 Non-Trivial State와 Input이 존재하도록 만드는 zᵢ로 정리되어 있다.

12. System Matrix

두 번째 이미지에서는 다음 결합 행렬을 이용하여 Transmission Zero 조건을 정리한다.

               ┌                    ┐
               │ zI - A       -B    │
      P(z) =   │                    │
               │   C          D     │
               └                    ┘

det P(z) = 0

13. Transfer Function의 Zero

세 번째 이미지에서는 Transfer Function으로 표현한 Zero를 기록한다.

G(s) = C(sI-A)^-1B + D

Transfer Function의 분자를 System Matrix의 determinant로 나타낸다.

Zero = det [ sI-A -B ; C D ] / det(sI-A)

14. Pole과 Transmission Zero의 차이

구분	이미지에서의 조건
Pole	det(sI – A) = 0
Transmission Zero	det([zI-A, -B; C, D]) = 0
Pole의 연결	A의 Eigenvalue
Zero의 연결	특정 입력에서 출력이 0이 되는 조건

15. Transmission Zero 유도 흐름

              State Space
                  │
                  ▼
        ẋ = Ax + Bu
        y  = Cx + Du
                  │
                  ▼
        u = u₀ e^(zᵢt)
        x = x₀ e^(zᵢt)
                  │
                  ▼
       (zᵢI-A)x₀ - Bu₀ = 0
                  │
                  ▼
            Cx₀ + Du₀ = 0
                  │
                  ▼
        ┌───────────────────┐
        │ zᵢI-A      -B     │
        │   C         D     │
        └───────────────────┘
                  │
                  ▼
             det = 0
                  │
                  ▼
         Transmission Zero

16. Transfer Function과 State Space 관계

세 이미지에서는 State Space와 Transfer Function의 관계를 다음 순서로 연결한다.

State Space → G(s) = C(sI-A)^-1B + D

Pole → det(sI-A)=0

Transmission Zero → det [ sI-A -B ; C D ] = 0

17. 이미지 핵심 정리

항목	이미지 내용
State Equation	ẋ = Ax + Bu
Output Equation	y = Cx + Du
Transfer Function	G(s) = C(sI-A)^-1B + D
Pole	det(sI-A) = 0
입력 가정	u(t) = u₀e^zᵢt
State 가정	x(t) = x₀e^zᵢt
Zero 조건	y(t) = 0
System Matrix	[zI-A, -B; C, D]
Transmission Zero	System Matrix가 특이해지는 z

이 HTML은 페이지 본문을 사용하지 않고, 해당 페이지에 삽입된 일반 이미지 3장만 직접 시각 판독하여 작성하였다. 이 페이지에서는 NeoStudio PDF가 확인되지 않았다. 첫 번째 이미지는 State Space에서 Transfer Function과 Pole을 유도하고 Transmission Zero의 개념을 시작한다. 두 번째 이미지는 u(t)=u₀e^(zᵢt), x(t)=x₀e^(zᵢt)를 가정하여 Transmission Zero의 System Matrix 조건을 유도한다. 세 번째 이미지는 Transfer Function의 Zero와 System Matrix determinant의 관계를 정리한다. 이미지에 없는 외부 제어이론 내용은 추가하지 않았다.

Transmission Zero, Zero, Pole, State Space, Transfer Function, State Equation, Output Equation, System Matrix, Rosenbrock System Matrix, Eigenvalue, Eigenvector, det(sI-A), A, B, C, D, x0, u0, Exponential Input

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Transmission Zero

1. State Space 표현

2. State Space에서 Transfer Function 유도

3. 초기조건이 0인 경우

4. Pole

5. Pole과 Zero

6. Transmission Zero의 개념

7. Exponential 입력

8. State Equation에 대입

9. 출력이 0이 되는 조건

10. 두 식의 결합

11. Non-Trivial Solution

12. System Matrix

13. Transfer Function의 Zero

14. Pole과 Transmission Zero의 차이

15. Transmission Zero 유도 흐름

16. Transfer Function과 State Space 관계

17. 이미지 핵심 정리

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