원본에서는 오차분석을 측정에서 발생하는 불확실성에 대한 탐구로 정리한다.

불확실성은 완전히 없애기 어렵기 때문에, 중요한 것은 그 크기가 얼마나 되는지를 표현하는 것이다.

측정결과는 다음과 같은 형태로 표현한다.

• x_best : 최선의 추정값
• δx : 불확실성

원본에서는 불확실성이 지나치게 크면 측정값 자체의 의미가 줄어든다고 기록한다.

실험적 불확실성에는 보통 하나의 유효숫자를 사용하는 방향으로 기록되어 있다.

측정값의 마지막 유효숫자는 불확실성의 자리와 맞추어야 한다.

같은 물리량에 대해 두 번의 측정값이 다를 수 있으며, 측정값이 다르면 그 불일치 정도가 중요하다.

원본은 측정값뿐 아니라 그 측정값의 불확실성이 얼마나 큰지가 중요하다고 기록한다.

x와 y를 측정하고 각각의 불확실성을 δx, δy라 할 때 합 또는 차의 불확실성은 원본에서 다음과 같이 기록되어 있다.

차의 경우도 불확실성은 두 불확실성의 합으로 처리한다.

원본에서는 상대불확실성을 최선의 추정값에 대한 불확실성의 비로 기록한다.

이를 비율 또는 백분율로 표현할 수 있다.

원본에는 비율 불확실성은 단위가 없는 값으로 기록되어 있다.

x와 y를 곱하거나 나누는 경우 원본은 상대불확실성을 더하는 방향으로 기록한다.

원본은 직접 측정할 수 없는 물리량을 여러 측정값으로 계산할 때 측정값의 불확실성이 계산결과로 전달되는 현상을 불확실성 전파로 정리한다.

직접측정에서도 측정값의 시작점이나 끝점의 위치가 명확하지 않을 수 있다고 기록한다.

반복측정을 실시하면 측정값의 분포를 확인할 수 있고, Random Error는 반복측정으로 개선할 수 있다고 기록한다.

측정값이 Count인 경우 원본은 Count의 불확실성을 제곱근과 연결하여 기록한다.

Count가 증가하면 절대 불확실성은 증가하지만, 상대적인 불확실성은 작아지는 방향으로 해석한다.

세 번째 필기는 합과 차에서는 절대 불확실성을 더하는 원칙을 다시 정리한다.

곱과 몫에서는 비율 불확실성이 중요하며 다음 형태로 기록한다.

원본에서는 이를 각 측정량의 비율 불확실성을 더하는 것으로 정리한다.

측정량에 정확한 상수 B를 곱하는 경우 B 자체에는 불확실성이 없다고 가정한다.

따라서

가 된다.

원본에서는 거듭제곱 함수의 불확실성을 다음과 같이 기록한다.

네 번째 이미지에서는 서로 독립인 불확실성의 합성을 제곱합의 제곱근으로 기록한다.

곱에서도 독립 불확실성을 비율 형태로 합성하는 식이 함께 기록되어 있다.

단일 변수의 함수

에 대해서는 미분을 이용하여 불확실성을 전파한다.

거듭제곱 함수도 이 관계로 다시 확인한다.

네 번째 이미지에서는 불확실성을 크게 두 종류로 구분한다.

반복측정을 여러 번 실시하면 측정값의 평균을 최선의 추정값으로 사용할 수 있다고 기록한다.

각 측정값과 평균의 차이를 편차로 둔다.

원본에는 편차의 합이 0이 되므로 제곱하여 크기를 판단한다고 기록한다.

반복 측정값 x₁, x₂, x₃, …의 흩어짐 정도를 표준편차로 나타낸다.

원본에서는 표준편차를 통해 측정값의 분포를 나타내는 방향으로 기록한다.

첫 번째 도식 이미지는 Random Error와 Systematic Error의 크기를 표적 그림으로 비교한다.

두 번째 도식 이미지는 표적의 중심을 제거하여 점의 분포만 보여준다.

원본의 의미는 다음과 같다.

여섯 번째 필기에는 스프링 상수를 측정하는 반복실험 예가 기록되어 있다.

첫 번째 측정에서

형태를 예로 들고, 두 번째 측정도 같은 불확실성 범위로 표현할 수 있다고 기록한다.

반복측정 횟수 N이 증가하면 평균값의 불확실성은 작아진다.

원본에서는 √N에 따라 불확실성이 줄어들기 때문에 반복측정을 많이 할수록 평균의 정확도가 개선된다고 기록한다.

반복측정 횟수를 증가시키면 다음 효과를 기대할 수 있다고 기록한다.

1. 확실도 증가
2. 측정결과 개선

마지막 필기에서는 계통오차를 별도로 정리한다.

계통오차는 측정결과가 특정 방향으로 지속적으로 치우치는 경우이며, 측정이 어떻게 이루어지는지를 주의 깊게 확인해야 한다고 기록한다.

반복측정 데이터를 많이 얻으면 측정값의 분포를 확인할 수 있다.

원본에서는 이를 인구분포 또는 확률분포의 관점으로 연결한다.

마지막 이미지에서는 반복측정값의 대표적인 분포로 정규분포를 기록한다.

• X : 중심값
• σ : 표준편차

원본은 정규분포의 전체 확률이 1이 되도록 정규화한다고 기록한다.

                   Measurement
                       │
                       ▼
                     Error
                       │
                       ▼
                 Uncertainty
                       │
          ┌────────────┴────────────┐
          ▼                         ▼
   Absolute Uncertainty      Relative Uncertainty
          │                         │
          └────────────┬────────────┘
                       ▼
            Uncertainty Propagation
                       │
          ┌────────────┴─────────────┐
          ▼                          ▼
        Sum/Difference           Product/Ratio
        δx + δy             Relative uncertainty
                                      │
                                      ▼
                           General Function f(x)
                                      │
                                      ▼
                               |df/dx| δx
                                      │
                                      ▼
                             Repeated Measurement
                                      │
                 ┌────────────────────┴────────────────────┐
                 ▼                                         ▼
             Random Error                           Systematic Error
                 │
                 ▼
              Mean x̄
                 │
                 ▼
          Standard Deviation σx
                 │
                 ▼
      Standard Error σx / √N
                 │
                 ▼
           Normal Distribution