이미지에서는 서로 다른 분포를 가진 두 측정값을 하나의 값으로 평균할 때 각 측정값의 불확실성을 고려한다.

측정값을 x_A, x_B, 각각의 표준편차를 σ_A, σ_B로 두고 χ² 형태로 나타낸다.

두 측정값을 대표하는 x는 χ²가 가장 작아지는 값으로 구한다.

이미지에서는 이를 정리하여 다음 식을 기록한다.

각 측정값의 Weight는 표준편차의 제곱에 반비례하도록 정의한다.

이를 이용하면 두 측정값의 Weighted Average를 다음과 같이 표현한다.

이미지에서는 표준편차가 커질수록 Weight가 작아지는 관계를 강조한다.

σ_A와 σ_B가 같으면 두 Weight도 같아진다.

이 경우에는 일반적인 산술평균과 같은 형태가 된다.

여러 개의 측정값으로 확장하면 Weighted Average를 다음과 같이 기록한다.

두 번째 이미지에서는 Weighted Average의 표준편차 관계를 기록한다.

또한 Weight와 각 측정값의 표준편차 사이를 다음과 같이 연결한다.

             측정값 x_i
                 │
                 ▼
         표준편차 σ_i 확인
                 │
                 ▼
         w_i = 1 / σ_i²
                 │
                 ▼
       Σ w_i x_i / Σ w_i
                 │
                 ▼
              x_wav
                 │
                 ▼
       σ_wav = 1 / √(Σw_i)
    

두 번째 이미지에서는 Least Square를 최소제곱 맞추기로 기록한다.

반복측정에서 Weighted Average를 사용한 뒤, 일반적인 여러 데이터에 대해서는 함수 Fitting 문제로 확장한다.

이미지에서는 측정점 (x_i, y_i)가 여러 개 있을 때 1차 함수의 상수 A와 B를 구하는 문제를 다룬다.

측정 데이터로부터 A와 B를 Least Square로 결정한다.

이미지에서는 x_i와 y_i를 측정할 때 y_i의 불확실성을 고려하는 경우를 다룬다.

x_i의 불확실성은 y_i에 비해 작다고 가정하는 방향으로 기록되어 있다.

여러 측정값이 서로 독립이라는 가정 아래 전체 확률은 각 측정값의 확률을 곱하는 형태로 기록되어 있다.

선형 Fitting에서는 측정값과 직선의 차이를 이용하여 χ²를 구성한다.

세 번째 이미지에서는 모든 σ_yi가 동일한 경우를 놓고 A와 B에 대해 χ²를 미분한다.

두 미분식을 정리하면 다음 두 연립방정식을 얻는다.

이미지에서는 이 두 식을 연립하여 A와 B를 구한다고 기록한다.

세 번째 이미지에는 Least Square 문제에서 다음 합들이 주어지는 값으로 기록되어 있다.

• Σx_i
• Σy_i
• Σx_i²
• Σx_iy_i
• N

이 값들을 두 연립방정식에 대입하여 A와 B를 계산한다.

             측정 데이터
             (x_i, y_i)
                 │
                 ▼
           y = A + Bx
                 │
                 ▼
        잔차 y_i-A-Bx_i
                 │
                 ▼
        χ² = Σ 잔차²/σ_yi²
                 │
                 ▼
        ∂χ²/∂A = 0
        ∂χ²/∂B = 0
                 │
                 ▼
        ┌─────────────────────┐
        │ AN+BΣx_i=Σy_i       │
        │ AΣx_i+BΣx_i²=Σx_iy_i│
        └─────────────────────┘
                 │
                 ▼
               A, B
    

           반복 측정값
               │
               ▼
         σ_i로 신뢰도 표현
               │
               ▼
         w_i = 1/σ_i²
               │
               ▼
        Weighted Average


           여러 (x_i,y_i)
               │
               ▼
          직선 Fitting
               │
               ▼
        잔차의 제곱합 χ²
               │
               ▼
        χ²를 최소화하는
             A, B
               │
               ▼
         Least Square