그림 9-8. 진동 자이로스코프의 작동 원리
회전 좌표계와 코리올리 힘을 이용한 진동 자이로스코프의 개념도
그림 9-8은 진동 자이로의 작동 방식을 보여주는 개념도이다.
질량 M은 4개의 스프링으로 프레임 내부에 지지되며 y축을 따라 진동한다.
프레임이 회전하고 물체가 위쪽으로 진동할 때 코리올리 힘이 프레임을 왼쪽으로 이동시킨다.
물체가 아래쪽으로 진동하면 코리올리 힘의 방향이 반전되어 물체를 오른쪽으로 이동시킨다.
(a) 거대 물체 M은 4개의 스프링으로 프레임 내부에서 지지되며 y축을 따라 진동한다.
(b) 프레임이 회전하고 물체가 위쪽으로 진동할 때 코리올리 힘이 프레임을 왼쪽으로 이동시킨다.
(c) 물체가 아래로 진동할 때 힘이 물체를 오른쪽으로 이동시킨다.
1. 코리올리 가속도와 진동 자이로
회전 좌표계에서 움직이는 물체에는 코리올리 가속도가 나타난다.
여기서 Ω는 회전 좌표계의 각속도 벡터, v는 회전 좌표계에서 관찰한 물체의 상대속도 벡터이다.
코리올리 가속도의 크기는 다음과 같다.
각속도 벡터와 속도 벡터가 서로 수직이면 다음과 같다.
1.1 코리올리 힘
물체의 질량이 M이라면 코리올리 힘의 크기는 다음과 같다.
물체 M을 일정한 진폭과 주파수로 진동시키면 진동속도 v가 결정된다.
프레임의 회전각속도 ω가 증가하면 코리올리 힘도 증가한다.
따라서 코리올리 힘에 의해 발생하는 횡방향 변위를 검출하여 프레임의 각속도를 측정할 수 있다.
1.2 코리올리 힘의 방향
코리올리 힘은 회전축 방향과 질량의 이동 방향에 모두 수직이다.
진동 방향이 반전되면 코리올리 힘의 방향도 반전된다.
1.3 회전각속도 측정
질량 M과 진동속도 v가 일정하다고 가정하면 코리올리 힘의 크기는 회전각속도 ω에 비례한다.
실제 진동 자이로에서는 코리올리 힘을 직접 측정하기보다 힘에 의해 발생하는 횡방향 변위나 진동을 근접 센서로 검출한다.
2. 좌표계와 코리올리 힘의 방향
2.1 좌표계 정의
코리올리 힘의 방향을 판단하려면 먼저 회전축 방향과 질량의 이동 방향을 정해야 한다.
그림 9-8을 정면에서 바라보고 다음과 같이 오른손 좌표계를 설정한다.
| 축 | 양의 방향 | 의미 |
|---|---|---|
| +x | 오른쪽 | 횡방향 검출축 |
| +y | 위쪽 | 질량 M의 진동축 |
| +z | 화면 밖 | 프레임의 회전축 |
아래 예제에서는 프레임의 각속도 벡터 Ω가 +z 방향이고, 질량 M이 +y 방향으로 움직인다고 가정한다.
프레임의 각속도 Ω는 +z 방향, 질량 M의 순간 진동속도 v는 +y 방향이다.
이 경우 Ω × v는 −x 방향이지만, 회전 좌표계에서 정의한 코리올리 가속도 −2Ω × v는 +x 방향이다.
2.2 오른손 법칙
벡터곱의 방향은 오른손 법칙으로 결정한다.
오른손의 검지를 첫 번째 벡터 Ω 방향으로, 중지를 두 번째 벡터 v 방향으로 놓으면 엄지가 Ω × v의 방향을 나타낸다.
오른손 좌표계의 기본 관계는 다음과 같다.
벡터곱에서는 순서가 바뀌면 부호가 반전된다.
2.3 Ω × v 계산
프레임이 +z 방향으로 회전하면 각속도 벡터는 다음과 같다.
질량 M이 위쪽인 +y 방향으로 이동하는 순간의 속도 벡터는 다음과 같다.
두 벡터의 외적을 계산한다.
따라서 Ω × v는 −x 방향, 즉 왼쪽을 향한다.
여기서 왼쪽 방향이 되는 이유는 k × j = −i이기 때문이다.
2.4 코리올리 가속도의 방향
회전 좌표계에서 나타나는 코리올리 가속도는 다음과 같이 정의한다.
앞에서 계산한 Ω × v를 대입하면
따라서
즉, 질량이 위쪽으로 진동하는 순간 코리올리 가속도는 +x 방향, 즉 오른쪽을 향한다.
벡터곱
회전 좌표계의 코리올리 가속도
코리올리 가속도 식에 포함된 음의 부호 때문에 방향이 반전된다.
2.5 진동 방향이 반전되면?
프레임의 회전 방향 Ω는 그대로 유지한다고 가정한다.
질량이 아래쪽으로 움직이면 속도 벡터는 −y 방향으로 바뀐다.
이때 벡터곱은
코리올리 가속도는
따라서 왼쪽인 −x 방향으로 바뀐다.
| 질량 M의 운동 | Ω × v | 코리올리 가속도 |
|---|---|---|
| 위쪽 (+y) | 왼쪽 (−x) | 오른쪽 (+x) |
| 아래쪽 (−y) | 오른쪽 (+x) | 왼쪽 (−x) |
| 진동 끝점 (v = 0) | 0 | 0 |
2.6 숫자로 확인
다음 조건을 가정한다.
- 질량 M = 0.01 kg
- 회전각속도 ω = 2 rad/s
- 진동속도 v = 0.1 m/s
- Ω와 v 사이의 각도 = 90°
코리올리 힘의 크기는
값을 대입하면
따라서 이 순간에 발생하는 코리올리 힘의 크기는 0.004 N이다.
프레임의 회전각속도 ω가 두 배가 되고 진동속도 v가 일정하다면 코리올리 힘도 두 배가 된다.
2.7 진동 자이로의 측정 원리
질량 M의 구동 진동을 알고 있으면 횡방향으로 나타나는 진동 응답으로부터 프레임의 회전각속도를 추정할 수 있다.
여기서 사용한 aC = −2Ω × v는 회전 좌표계에서 나타나는 관성 가속도 표현이다.
반대로 관성계에서 상대운동에 따른 코리올리 가속도 항은 +2Ω × v로 나타난다.
따라서 어느 기준계에서 힘과 가속도를 설명하는지 먼저 확인해야 한다.
또한 원본 그림 9-8에는 회전축의 양의 방향이 명시되어 있지 않다. 위쪽 진동 시 힘의 방향을 판단할 때 본 예제의 +z 회전 가정을 원본 그림에 그대로 적용해서는 안 된다.