미분인자, 적분인자의 보드선도(Bode Diagram)를 제시하고 필터 관점에서 설명하시오.

KOCW 세종대학교 곽관웅 교수, 자동제어 2019년도, 11강

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Bode Plot, Bode Diagram

Magnitude · Phase · Break Point · Pole · Zero · Differentiator · Integrator · Filter

1. Bode Plot

필기에서는 Bode Plot을 주파수에 따른 Magnitude와 Phase로 정리한다.

Bode Plot = Magnitude + Phase

전달함수의 주파수응답을 구하기 위해 다음과 같이 치환한다.

s = jω

전달함수에서 s를 jω로 바꾸고 Magnitude와 Phase를 주파수에 따라 표현한다.

2. Bode Plot 기본 항

손글씨에서는 전달함수를 다음 기본 형태로 나누어 Bode Plot을 작성한다.

상수 K
(jω)^±n
(jωτ + 1)^±n
2차 항

3. 상수 K

G(jω) = K

상수항은 주파수가 변해도 Magnitude가 일정한 형태로 그려져 있다.

      Magnitude
          ↑
          │──────────────
          │
          │
          └──────────────────→ log ω

4. 원점의 Pole · Zero

필기에서는 원점에 Pole 또는 Zero가 있는 경우를 다음 형태로 기록한다.

(jω)^±n

차수 n에 따라 Magnitude의 기울기가 변한다.

Zero → +20 dB/decade × n

Pole → -20 dB/decade × n

5. 미분인자

미분인자는 s 또는 jω 형태이다.

G(s) = s

G(jω) = jω

Magnitude는 주파수가 증가하면서 증가하는 직선으로 표현된다.

Slope = +20 dB/decade

      Magnitude [dB]
           ↑
           │        /
           │      /
           │    /
           │  /
           └────────────────→ log ω

미분인자 : 주파수 증가 → Magnitude 증가

6. 적분인자

적분인자는 다음 형태이다.

G(s) = 1/s

G(jω) = 1/(jω)

Magnitude는 주파수가 증가할수록 감소하는 직선으로 표현된다.

Slope = -20 dB/decade

      Magnitude [dB]
           ↑
           │\
           │ \
           │  \
           │   \
           └────────────────→ log ω

적분인자 : 주파수 증가 → Magnitude 감소

7. 1차 항

1차 Pole 또는 Zero는 다음 형태로 정리한다.

(jωτ + 1)^±n

필기에서는 저주파에서 이 항이 약 1이므로 0 dB로 시작한다고 기록한다.

ωτ << 1 → jωτ + 1 ≈ 1

Magnitude ≈ 0 dB

8. Break Point

1차 항의 Break Point는 다음 조건에서 발생한다.

ωτ = 1

ω = 1/τ

손글씨에서는 1/τ가 Break Point라고 표시한다.

1차 Pole/Zero의 기울기 변화는 ω = 1/τ에서 시작한다.

9. Break Point 이후

주파수가 Break Point보다 충분히 크면

ωτ >> 1

이므로

jωτ + 1 ≈ jωτ

Pole인지 Zero인지에 따라 Magnitude의 기울기가 증가 또는 감소한다.

10. 1차 Zero

G(jω) = 1 + jωτ

      Magnitude
          ↑
          │          /
          │        /
          │───────●
          │      ω=1/τ
          └────────────────→ log ω

ω < 1/τ → 0 dB

ω > 1/τ → +20 dB/decade

11. 1차 Pole

G(jω) = 1 / (1 + jωτ)

      Magnitude
          ↑
          │───────●
          │        \
          │         \
          │          \
          └────────────────→ log ω
                 ω=1/τ

ω < 1/τ → 0 dB

ω > 1/τ → -20 dB/decade

12. Low Pass Filter

첫 번째 손글씨에서는 다음 형태를 Low Pass Filter와 연결한다.

G(s) = 1/(s+a)

      Magnitude
          ↑
          │────────
          │        \
          │         \
          │          \
          └────────────────→ log ω

저주파 통과 → 고주파 감쇠

13. High Pass Filter

다음 형태는 High Pass Filter와 연결하여 기록한다.

G(s) = s + a

      Magnitude
          ↑
          │          /
          │        /
          │───────
          │
          └────────────────→ log ω

저주파보다 고주파 영역의 Magnitude 증가

14. 2차 항

두 번째 손글씨에서는 2차 항을 다음 형태로 기록한다.

[ (jω/ω_n)² + 2ζ(jω/ω_n) + 1 ]^±n

그림에서는 ω/ω_n 부근에서 Magnitude의 변화가 크게 나타나는 형태를 그린다.

      Magnitude
          ↑
          │          /\
          │        /   \
          │──────/      \────
          │
          └────────┬──────────→ log ω
                  ω/ωn

15. Bode Plot 작성 방법

손글씨의 흐름은 전달함수를 기본항으로 분해한 후 각 항의 기울기를 더하는 방식이다.

      Transfer Function
             │
             ▼
      기본항으로 Factorization
             │
      ┌──────┼─────────┐
      │      │         │
      ▼      ▼         ▼
      K    Pole      Zero
             │
             ▼
      Break Point 확인
             │
             ▼
      각 항의 Slope 작성
             │
             ▼
      Magnitude 합성

16. 예제 전달함수

세 번째 손글씨와 참고 이미지에서는 다음 전달함수를 예제로 사용한다.

KG(s) = 2000(s+0.5) / { s(s+10)(s+50) }

Bode 형태로 정리하면

KG(jω) = 2 { (jω/0.5)+1 } / [ jω { (jω/10)+1 } { (jω/50)+1 } ]

17. 예제의 Break Point

손글씨에서는 예제의 Break Point를 다음과 같이 표시한다.

ω = 0.5, 10, 50

또한 원점에 1개의 Pole이 존재한다.

1/s → 초기 Slope = -20 dB/decade

18. 예제의 Magnitude 기울기

각 Break Point를 지나면서 기울기를 순차적으로 합산한다.

주파수 영역	변화 원인	Slope
ω < 0.5	원점 Pole	-20 dB/decade
0.5 이후	Zero 추가	0 dB/decade
10 이후	Pole 추가	-20 dB/decade
50 이후	추가 Pole	-40 dB/decade

19. 예제 Magnitude 흐름

      Magnitude [dB]
           ↑
           │\
           │ \
           │  \_________
           │            \
           │             \
           │              \__
           └────┬────┬─────┬────→ log ω
               0.5   10    50

        -20       0      -20     -40
        dB/dec          dB/dec  dB/dec

20. Phase Plot

참고 이미지에서는 Magnitude와 함께 각 Pole과 Zero의 Phase를 합성한다.

예제는 저주파 영역에서 원점 Pole의 위상 영향으로 시작하고, Zero와 Pole의 영향이 추가되면서 최종 Phase가 변화한다.

      각 항의 Phase
            │
            ├── 1/jω
            ├── 1 + jω/0.5
            ├── 1/(1+jω/10)
            └── 1/(1+jω/50)
                    │
                    ▼
              Phase 합성

21. Pole · Zero와 기울기 관계

요소	Break Point 이후 Magnitude 변화
1차 Zero	+20 dB/decade
1차 Pole	-20 dB/decade
n차 Zero	+20n dB/decade
n차 Pole	-20n dB/decade

22. 이미지 OCR 전체 흐름

              G(s)
               │
               ▼
            s = jω
               │
               ▼
        기본항으로 분해
               │
      ┌────────┼─────────┐
      │        │         │
      ▼        ▼         ▼
      K      Pole       Zero
               │
               ▼
         Break Point
               │
               ▼
        Magnitude Slope
               │
               ▼
        Phase 변화 계산
               │
               ▼
      Magnitude + Phase
               │
               ▼
           Bode Plot

23. 이미지 OCR 핵심 정리

항목	이미지 내용
Bode Plot	Magnitude + Phase
주파수 치환	s = jω
미분인자	+20 dB/decade
적분인자	-20 dB/decade
1차 Zero	Break Point 이후 +20 dB/decade
1차 Pole	Break Point 이후 -20 dB/decade
Break Point	ω = 1/τ
2차 항	ω/ωn 부근에서 Magnitude 변화
예제	Break Point = 0.5, 10, 50 rad/s

이 HTML은 페이지 본문 설명을 사용하지 않고, 일반 이미지 5장만 OCR/시각 판독하여 작성했다. 이 페이지에는 NeoStudio PDF가 없다. 이미지 1~3은 손글씨 정리이고, 이미지 4~5는 같은 예제 전달함수와 Bode Magnitude / Phase Plot을 보여주는 참고 이미지이다. 2차 항의 세부 Magnitude 및 Phase 공식은 원본 손글씨에 완전한 형태로 전개되어 있지 않아 일반 제어이론으로 추가하지 않았다. Low Pass / High Pass 역시 원본 필기에 표시된 전달함수와 그래프의 관계까지만 반영하였다.

Bode Plot, Bode Diagram, Magnitude, Phase, Frequency Response, Break Point, Corner Frequency, Pole, Zero, Differentiator, Integrator, Low Pass Filter, High Pass Filter, 20 dB/decade

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