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Canonical Form · Transfer Function

State Space · Controllable Canonical Form · Transfer Function · Matrix Exponential · Controllability · Observability

1. Transfer Function → Canonical Form

첫 번째 NeoStudio PDF에서는 Transfer Function으로부터 Canonical Form의 상태공간 행렬을 바로 구성하는 예제를 사용한다.

G(s) = \frac{s+2}{s^2+7s+12}

분모 계수와 분자 계수를 이용하여 다음 상태공간 행렬을 구성한다.

A = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}
D = 0
분모 계수는 A 행렬, 입력은 B, 분자 계수는 C에 배치하는 형태로 기록되어 있다.

2. Canonical Form의 기본 형태

필기에서는 분모계수를 A 행렬에 배치하고 B는 첫 번째 요소만 1, 나머지는 0으로 두는 형태를 사용한다. 

      Transfer Function
             │
             ▼
      분모 계수 확인
             │
             ▼
            A
             │
      ┌──────┴──────┐
      │             │
      ▼             ▼
      B             C
    [1,0,...]ᵀ   분자 계수

3. 출력행렬 C

출력은 다음 상태공간 관계로 표현한다.

y = Cx
y = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}

필기에서는 x1, x2가 어떤 물리량인지보다 상태변수를 어떻게 정의했는지가 중요하다는 흐름으로 기록되어 있다.

4. 두 번째 예제

\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{s+3}{s^2+3s+2}

필기에서는 이 전달함수를 다음과 같이 상태공간 형태로 옮긴다.

A = \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
C = \begin{bmatrix} 1 & 3 \end{bmatrix}
D = 0

5. 두 예제 비교

항목 예제 1 예제 2
Transfer Function (s+2)/(s²+7s+12) (s+3)/(s²+3s+2)
A 첫 행 [-7, -12] [-3, -2]
A 둘째 행 [1, 0] [1, 0]
B [1, 0]ᵀ [1, 0]ᵀ
C [1, 2] [1, 3]

6. Controllability Matrix

두 번째 NeoStudio PDF는 Controllability Canonical Form을 만들기 위한 변환행렬 T의 유도로 이어진다.

\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots \end{bmatrix}

필기에서는 Controllability Matrix가 Full Rank라는 전제에서 변환을 진행한다.

rank(\mathcal{C}) = n

7. 상태변수 변환

기존 상태 x와 새로운 상태 z의 관계를 다음과 같이 둔다.

x = Tz
z = T^{-1}x

원래 시스템

\dot{x} = Ax + Bu

에 x = Tz를 대입하면

T\dot{z} = ATz + Bu
\dot{z} = T^{-1}ATz + T^{-1}Bu

8. 변환 후 행렬

\bar{A} = T^{-1}AT
\bar{B} = T^{-1}B

필기의 목적은 \bar{A}, \bar{B}를 Canonical Form으로 만드는 것이다.

적절한 T를 선정하여 원래 시스템과 같은 동특성을 가지면서 상태공간 표현만 Canonical Form으로 변환한다.

9. Canonical Form의 B 행렬

3차 시스템 예제에서는 변환 후 B를 다음 형태로 둔다.

\bar{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

필기에서는 T를 구성하는 열벡터를 t1, t2, t3로 두고 관계를 유도한다.

10. T의 열벡터 관계

필기의 유도에서 T의 열벡터 사이에는 A와의 곱을 이용한 관계가 만들어진다.

t_2^T = t_1^T A
t_3^T = t_1^T A^2

또한 변환 후 B 조건에서 다음 관계가 나온다.

t_1^T B = 0
t_1^T AB = 0
t_1^T A^2B = 1

11. T와 Controllability Matrix

위 조건을 한 번에 쓰면

t_1^T \begin{bmatrix} B & AB & A^2B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

따라서

t_1^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B & AB & A^2B \end{bmatrix}^{-1}
변환행렬 T를 구할 때 Controllability Matrix의 역행렬을 이용한다.

12. Matrix Exponential

세 번째 NeoStudio PDF는 State Space 복습내용으로 이어진다.

e^{at} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k t^k}{k!}

이를 Matrix로 확장하면

e^{At} = I + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \cdots

13. State Transition Matrix

\Phi(t) = e^{At}
e^{At} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ (sI-A)^{-1} \right\}

필기에는 다음 성질이 기록되어 있다.

\Phi(-t) = e^{-At}
\Phi(0) = I
\Phi^{-1}(t) = \Phi(-t)
\Phi(t_1+t_2) = \Phi(t_1)\Phi(t_2)
\Phi(nt) = \Phi^n(t)

14. Matrix Exponential 예제

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}

필기에서는 다음 관계로 Φ(t)를 구한다.

\Phi(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ (sI-A)^{-1} \right\}

그리고

sI-A = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s+3 \end{bmatrix}

로 두고 역행렬을 계산하는 과정을 적고 있다.

15. Non-homogeneous State Equation

\dot{x} = Ax + Bu

입력이 존재하는 경우의 상태해는 다음과 같이 정리한다.

x(t) = e^{At}x(0) + \int_0^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau)d\tau

State Transition Matrix를 사용하면

x(t) = \Phi(t)x(0) + \int_0^t \Phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau

16. Laplace Form

(sI-A)X = x(0)+BU
X = (sI-A)^{-1}x(0) + (sI-A)^{-1}BU

Inverse Laplace Transform과 Convolution을 통해 같은 상태해를 얻는 흐름이다.

17. Controllability 의미

필기에서는 Controllability를 초기상태에서 원하는 상태까지 입력으로 이동할 수 있는가의 문제로 본다.

x(t_0) → u(t) → x(t_1)

특히 초기상태를 최종적으로 0으로 보내는 경우를 이용해 유도한다.

18. Controllability Matrix 유도

상태해에서 Matrix Exponential을 A의 거듭제곱으로 전개하면 다음 항들이 나타난다.

B,\ AB,\ A^2B,\ \cdots
\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots \end{bmatrix}

이 행렬이 상태공간 전체를 생성할 수 있는지가 Controllability 판단의 핵심으로 기록되어 있다.

19. Observability

\dot{x} = Ax + Bu
y = Cx

필기에서는 출력 y(t)를 관찰하여 내부 상태 x(t)를 알 수 있는지를 Observability로 설명한다.

Observable : y(t)를 관찰하여 x(t)를 알 수 있는가?

20. Observability Matrix

상태해를 출력식에 대입하고 eAt를 전개하면 C, CA, CA² … 항이 만들어진다.

\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \end{bmatrix}

21. Canonical Form과 Controllability 관계

      Transfer Function
              │
              ▼
      State Space Model
              │
              ▼
      Controllability 확인
              │
              ▼
      C = [B AB A²B ...]
              │
        Full Rank
              │
              ▼
      Transformation Matrix T
              │
              ▼
      x = Tz
              │
              ▼
      Ā = T⁻¹AT
      B̄ = T⁻¹B
              │
              ▼
      Controllable Canonical Form

22. 전체 핵심 정리

항목 NeoStudio 내용
Transfer Function → State Space 분모·분자 계수로 A, B, C, D 구성
상태변환 x = Tz
변환 후 A Ā = T⁻¹AT
변환 후 B B̄ = T⁻¹B
Controllability Matrix [B AB A²B …]
Matrix Exponential eAt = I + At + A²t²/2! + …
State Transition Matrix Φ(t) = eAt
Non-homogeneous Solution eAtx(0) + ∫eA(t-τ)Bu(τ)dτ
Observability Matrix [C; CA; CA²; …]
이 HTML은 페이지 본문이나 외부 강의·일반 참고자료를 사용하지 않고, NeoStudio PDF 3개, 총 10페이지를 페이지별 OCR/시각 판독하여 작성했다. 첫 번째 PDF는 Transfer Function에서 Controllable Canonical Form을 직접 구성하는 예제이다. 두 번째 PDF는 Controllability Matrix를 이용하여 상태변환행렬 T를 구하고 Canonical Form으로 변환하는 유도이다. 세 번째 PDF는 Matrix Exponential, Non-homogeneous State Equation, Controllability, Observability의 복습 내용이다. 일부 손글씨의 행렬원소와 중간 유도식은 취소선 또는 판독 불명확 부분이 있어 임의로 보완하지 않고, 명확하게 확인되는 최종 관계만 반영했다.
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