첫 번째 이미지에서는 시스템의 Impulse Response h(t)를 Fourier Transform하여 H(jω)를 구하는 관계를 기록한다.

이미지의 손글씨에서는 h(τ)를 Impulse Response, H(jω)를 주파수 ω에서의 Complex Number로 표시한다.

두 이미지 모두 LTI System의 입력으로 복소 지수 함수를 사용한다.

두 번째 이미지에는 e^jωt가 ωt에 따라 원을 회전하는 형태로 그려져 있다.

                  Im
                   ↑
                   │      e^(jωt)
                   │     ↗
                   │   /
                   │ /
        ───────────●──────────→ Re
                  ↺
                  ωt
    

복소 지수 입력을 LTI System h(t)에 넣으면 출력은 다음 형태가 된다.

      x(t)=e^(jωt)
           │
           ▼
      ┌─────────────┐
      │ LTI System  │
      │    h(t)     │
      └─────────────┘
           │
           ▼
      H(jω)e^(jωt)
    

첫 번째 이미지에서는 입력 e^jωt를 LTI System의 Eigenfunction으로 표시한다.

시스템을 통과해도 e^jωt의 형태는 유지되고 앞에 H(jω)가 곱해진다.

출력에 곱해지는 H(jω)는 첫 번째 이미지에서 Eigenvalue로 표시되어 있다.

첫 번째 이미지에서는 H(jω)를 크기와 위상으로 분리한다.

• |H(jω)| : 크기
• ∠H(jω) : 위상

입력 e^jωt에 H(jω)가 곱해지므로 출력은 크기와 위상이 변한 형태가 된다.

첫 번째 이미지의 핵심 메모는 H(jω)e^jωt가 입력과 같은 Angular Velocity ω로 회전한다는 것이다.

두 번째 이미지에서는 x(t)=e^jωt를 복소평면의 회전벡터로 표현한다.

                     Im
                      ↑
                      │
                      │    x(t)
                      │   ↗
                      │  /
                      │ /
        ──────────────●────────────→ Re
                    ↺
                    ωt
    

크기는 일정하고 각도 ωt가 시간에 따라 증가하는 그림으로 기록되어 있다.

두 번째 이미지에서는 출력도 같은 ωt로 회전하는 벡터로 그린다.

                         y(t)
                         ↗
                       /
                |H(jω)|
                    /
                   ●────────────→
                  ↺
                 ωt + ∠H(jω)
    

출력의 크기와 위상 변화는 H(jω)에 의해 결정되는 것으로 기록되어 있다.

두 번째 이미지에서 출력 벡터의 길이는 |H(jω)|와 연결하여 표시한다.

즉 입력 복소 지수 함수에 H(jω)가 곱해지면서 출력의 크기가 변한다.

두 번째 이미지에는 출력의 위상 변화가 ∠H(jω)로 표시되어 있다.

입력의 각도 ωt에 H(jω)의 위상각이 추가되는 형태이다.

두 이미지의 관계는 Impulse Response h(t)를 Fourier Transform하여 H(jω)를 얻고, 이 H(jω)가 특정 주파수의 복소 지수 입력에 대한 출력의 크기와 위상 변화를 결정하는 흐름이다.

            Impulse Response
                 h(t)
                  │
                  ▼
          Fourier Transform
                  │
                  ▼
               H(jω)
                  │
          ┌───────┴────────┐
          ▼                ▼
       |H(jω)|         ∠H(jω)
          │                │
          ▼                ▼
      크기 변화         위상 변화
          └───────┬────────┘
                  ▼
      H(jω)e^(jωt)
    

                    x(t)
                 e^(jωt)
                    │
                    ▼
               LTI System
                  h(t)
                    │
                    ▼
              H(jω)e^(jωt)
                    │
            ┌───────┴────────┐
            ▼                ▼
        Magnitude          Phase
        |H(jω)|           ∠H(jω)
            │                │
            └───────┬────────┘
                    ▼
           동일한 각속도 ω