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베르누이 방정식 유도

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유공압시스템 강의 정리
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베르누이 방정식 유도

Pressure · Velocity · Height · Work · Energy Conservation · Bernoulli Equation

1. 베르누이 방정식

NeoStudio 필기에서는 베르누이 방정식을 다음 형태로 정리한다.

P + 1/2 ρV² + ρgh = Constant
항 필기 의미
P 정압
1/2 ρV² 동압
ρgh 위치와 관련된 항

2. 유도에 사용하는 유체 구간

서로 다른 단면을 갖는 관의 위치 1과 위치 2를 생각한다. 

           P1 →                         ← P2

        ┌─────────┐
        │   S1    │───────╮
        │   V1 →  │       ╰──────────┐
        └─────────┘                  │ S2
             │                       │ V2 →
             │ h1                    └───────
             │                           │
             │                           │ h2
      ───────┴───────────────────────────┴────

                    Flow →

필기에서는 밀도 ρ를 일정한 값으로 두고 유도한다.

ρ = Constant

3. 위치 1에서 압력이 한 일

시간 Δt 동안 위치 1의 유체가 이동한 거리는

V1 Δt

이다.

압력에 의한 힘은

F1 = P1 S1

이므로, 위치 1에서 유체에 한 일은

W1 = P1 S1 V1 Δt

4. 위치 2의 압력에 대한 일

위치 2에서는 압력 P2가 유체의 진행방향과 반대로 작용한다.

W2 = P2 S2 V2 Δt

따라서 유체에 작용하는 순 압력 일은

W = P1 S1 V1 Δt – P2 S2 V2 Δt

5. 이동한 유체의 질량

필기에서는 이동한 체적과 밀도를 이용하여 질량을 연결한다.

m = ρ S V Δt
S V Δt = m / ρ

두 위치에서 같은 질량의 유체를 대상으로 하므로 압력에 의한 순 일은 다음과 같이 정리된다.

W = (P1 – P2) · m/ρ
압력차가 유체에 한 일을 질량과 밀도의 관계로 바꾼다.

6. 압력이 유체를 이동시키는 방향

두 번째 페이지의 그림에서는 P1이 왼쪽에서 유체를 오른쪽으로 밀고, P2는 오른쪽에서 반대방향으로 작용한다. 

        P1 →   [   유체   ]   ← P2

                  Flow →
Net Pressure Work = Work by P1 – Work against P2

7. 처음 상태의 에너지

위치 1에서 유체가 갖는 에너지를 운동에너지와 위치에너지의 합으로 둔다.

E1 = 1/2 mV1² + mgh1

8. 이동 후 에너지

위치 2에서의 에너지는 다음과 같다.

E2 = 1/2 mV2² + mgh2

따라서 에너지 변화는

ΔE = E2 – E1
ΔE = 1/2 mV2² + mgh2 – 1/2 mV1² – mgh1

9. 일과 에너지 변화

필기에서는 압력에 의한 순 일이 유체의 에너지 변화와 같다고 둔다.

W = ΔE

앞에서 구한 두 식을 대입하면

(P1-P2) · m/ρ = 1/2 mV2² + mgh2 – 1/2 mV1² – mgh1

10. 질량 m 제거

양변에서 질량 m을 제거하면

(P1-P2)/ρ = 1/2 V2² + gh2 – 1/2 V1² – gh1

양변에 ρ를 곱한 형태는

P1-P2 = 1/2 ρV2² + ρgh2 – 1/2 ρV1² – ρgh1

11. 베르누이 방정식 도출

항을 위치 1과 위치 2로 정리하면

P1 + 1/2 ρV1² + ρgh1 = P2 + 1/2 ρV2² + ρgh2

따라서

P + 1/2 ρV² + ρgh = Constant
압력에 의한 일과 운동에너지·위치에너지 변화를 같게 두면 베르누이 방정식이 나온다.

12. 유도 흐름

      위치 1의 압력 P1
              │
              ▼
        P1 S1 V1 Δt
              │
              │
              ├───────────────┐
              │               │
              ▼               ▼
      위치 2 압력의 일     이동 질량
      P2 S2 V2 Δt        m = ρSVΔt
              │               │
              └──────┬────────┘
                     ▼
          W = (P1-P2)m/ρ
                     │
                     ▼
                 W = ΔE
                     │
          ┌──────────┴──────────┐
          ▼                     ▼
      운동에너지 변화        위치에너지 변화
          │                     │
          └──────────┬──────────┘
                     ▼
      P1 + 1/2ρV1² + ρgh1
               =
      P2 + 1/2ρV2² + ρgh2

13. 각 항의 관계

항 NeoStudio 표현 유도에서의 관계
P 정압 압력이 유체에 한 일에서 발생
1/2 ρV² 동압 운동에너지와 연결
ρgh 위치 관련 항 위치에너지와 연결

14. NeoStudio PDF 핵심 정리

단계 식
압력에 의한 일 W = P1S1V1Δt – P2S2V2Δt
질량 관계 m = ρSVΔt
순 일 W = (P1-P2)m/ρ
위치 1 에너지 E1 = 1/2mV1² + mgh1
위치 2 에너지 E2 = 1/2mV2² + mgh2
일-에너지 관계 W = E2-E1
최종식 P + 1/2ρV² + ρgh = Constant
이 HTML은 페이지 본문과 외부 강의자료를 사용하지 않고, NeoStudio PDF 1개(총 2페이지)만 페이지별 OCR/시각 판독하여 작성했다. 페이지에 첨부된 ‘fourier_Transform-7.pdf’는 NeoStudio 자료가 아니므로 현재 변환 기준에 따라 제외했다. NeoStudio 필기는 밀도 ρ가 일정한 유체를 두고, 압력에 의한 순 일과 운동에너지·위치에너지의 변화를 같게 두어 베르누이 방정식을 유도한다. 필기에 없는 점성, 유선, 정상류 등의 추가 가정은 외부 일반이론으로 보완하지 않았다.
Bernoulli Equation, 베르누이 방정식, Pressure, Static Pressure, Dynamic Pressure, Velocity, Potential Energy, Kinetic Energy, Pressure Work, Energy Conservation, Fluid Flow, Density
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