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산업계측제어기술사

Controllablity, Observability, Rank

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Controllability · Observability · Rank

Linearly Independent · Rank · Controllability Matrix · Observability Matrix

1. 문제

다음 상태방정식으로 표현되는 시스템에 대하여 가제어성 및 가관측성 여부를 판정한다.

dx(t)/dt = [ 0   1 ; -1   -2 ] x(t) + [ 1 ; -1 ] u(t)
y(t) = [ 1   0 ] x(t)

따라서

A = [ 0   1 ; -1   -2 ]
B = [ 1 ; -1 ]
C = [ 1   0 ]

2. Linear Independence

NeoStudio에서는 먼저 Rank 판정을 위해 Linear Independence 개념을 확인한다.

αv₁ + βv₂ = 0

이 식을 만족시키는 계수가 α = 0, β = 0뿐이면 두 벡터는 Linearly Independent이다.

벡터 사이에 서로 종속되지 않는 방향이 몇 개 존재하는지를 Rank와 연결한다.

3. Linear Independent 예

필기에서는 다음 두 벡터를 예로 사용한다.

v₁ = [ 1 ; 0 ]
v₂ = [ 0 ; 1 ]
α [ 1 ; 0 ] + β [ 0 ; 1 ] = 0

이 경우 α = 0, β = 0만 가능하므로 두 벡터는 Linearly Independent이다.

Rank = 2

4. Linear Dependent 예

다음 두 벡터는 서로 반대방향의 동일한 벡터이다.

v₁ = [ 1 ; -1 ]
v₂ = [ -1 ; 1 ]
α [ 1 ; -1 ] + β [ -1 ; 1 ] = 0

필기에서는 α = 1, β = 1과 같이 0이 아닌 해가 존재한다고 기록한다.

v₂ = -v₁
서로 배수관계인 벡터는 Linearly Dependent이다.

5. Rank

NeoStudio에서는 Rank를 서로 독립적인 벡터의 개수와 연결하여 판단한다. 

      Independent Vector 수
              │
              ▼
             Rank

2차 시스템에서 Rank가 2이면 Full Rank로 판단하는 흐름이다.

Rank = n → Full Rank

6. Controllability Matrix

2차 시스템의 Controllability Matrix를 다음과 같이 구성한다.

C_m = [ B   AB ]

주어진 B는

B = [ 1 ; -1 ]

7. AB 계산

AB = [ 0   1 ; -1   -2 ] [ 1 ; -1 ]
AB = [ -1 ; 1 ]

8. Controllability Matrix 계산

따라서

C_m = [ B   AB ]
C_m = [ 1   -1 ; -1   1 ]

두 번째 열은 첫 번째 열의 -1배이다.

Column₂ = -Column₁

9. Determinant와 Rank

NeoStudio에서는 determinant도 계산한다.

det [ 1   -1 ; -1   1 ] = 1 – 1 = 0
det(C_m) = 0

따라서 이 행렬은 Singular이고, 두 열이 독립적이지 않다.

Rank(C_m) = 1

10. Controllability 판정

시스템 차수는 2인데 Controllability Matrix의 Rank는 1이다.

Rank(C_m) = 1 < 2
∴ Uncontrollable
Controllability Matrix가 Full Rank가 아니므로 이 시스템은 Uncontrollable이다.

11. Observability Matrix

2차 시스템의 Observability Matrix는 다음과 같이 구성한다.

O = [ C ; CA ]

주어진 출력행렬은

C = [ 1   0 ]

12. CA 계산

CA = [ 1   0 ] [ 0   1 ; -1   -2 ]
CA = [ 0   1 ]

13. Observability Matrix 계산

O = [ 1   0 ; 0   1 ]

두 행 또는 두 열이 서로 독립이므로 Rank는 2이다.

Rank(O) = 2

14. Observability 판정

시스템 차수와 Observability Matrix의 Rank가 같다.

Rank(O) = 2 = n
∴ Observable
Observability Matrix가 Full Rank이므로 이 시스템은 Observable이다.

15. Controllability · Observability 비교

항목 Matrix Rank 판정
Controllability [ 1 -1 ; -1 1 ] 1 Uncontrollable
Observability [ 1 0 ; 0 1 ] 2 Observable

16. Rank 판정 흐름

      State Space
          │
          ├─────────────────────┐
          │                     │
          ▼                     ▼
     Controllability       Observability
          │                     │
          ▼                     ▼
       [B  AB]                [C ; CA]
          │                     │
          ▼                     ▼
      Rank = 1              Rank = 2
          │                     │
          ▼                     ▼
    Not Full Rank          Full Rank
          │                     │
          ▼                     ▼
    Uncontrollable          Observable

17. NeoStudio PDF 핵심 정리

항목 원본 내용
Linear Independence 0이 아닌 선형결합 계수가 존재하지 않음
Rank 독립적인 벡터 개수와 연결
A [0 1; -1 -2]
B [1; -1]
C [1 0]
Controllability Matrix [B AB] = [1 -1; -1 1]
Controllability Rank 1 → Uncontrollable
Observability Matrix [C; CA] = [1 0; 0 1]
Observability Rank 2 → Observable
이 HTML은 페이지 본문과 연결된 YouTube 자료를 사용하지 않고, 일반 문제 이미지 1장과 NeoStudio PDF 1개(총 2페이지)만 OCR/시각 판독하여 작성했다. NeoStudio에서는 먼저 Linear Independence와 Rank를 설명한 뒤, 문제의 Controllability Matrix와 Observability Matrix를 직접 계산하여 판정한다. Controllability Matrix는 [1 -1; -1 1]로 두 열이 서로 종속되어 Rank=1이므로 Uncontrollable로 판정한다. Observability Matrix는 [1 0; 0 1]로 Rank=2이므로 Observable로 판정한다. 필기에 없는 PBH Test, Gramian 등의 추가 판정법은 일반 이론으로 보완하지 않았다.
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