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산업계측제어기술사

109회 DC 모터 transfer function

https://www.eeeguide.com/transfer-function-of-armature-controlled-dc-motor

https://ropiens.tistory.com/8

“`html

109회 DC Motor Transfer Function

Armature Controlled DC Motor · Back EMF · Motor Torque · Transfer Function

1. 문제의 DC Motor 블록선도

입력전압 V(s)에서 모터 위치 θ(s)까지의 전달함수를 구한다. 

                           Tm(s)          - TL(s)
                             │               ↓
                             │          +    -
                             ▼         ( Σ )
                           ┌────┐          │
 V(s) ──► (+) Σ ─────────►│ Km │──────────┘
          (-) ▲            └─┬──┘
              │              │
              │          Ra + La s
              │              │
              │              ▼
              │        ┌───────────┐
              │        │     1     │
              │        │ --------- │────► ω(s) ─────► [1/s] ─────► θ(s)
              │        │  Js + b   │
              │        └───────────┘
              │              │
              │              │
              └──────[ Kb ]◄─┘
                     Back EMF
G(s) = θ(s) / V(s)

2. DC Motor 물리 모델

       Electrical                         Mechanical

          Ra       La
 Vi ────/\/\/────( L )─────┐
                            │
                          [ Motor ]
                            │
                            │ Tm
                            ▼
                         ┌─────┐
                         │  J  │──── θm(t)
                         └─────┘
                            │
                            b

       Back EMF : Vb
       Load Torque : TL
θm(t) : Motor Angle
θL(t) : Load Angle
Tm : Motor Torque
TL : Load Torque

3. Armature 전기방정식

필기에서 Armature 회로에 Kirchhoff 전압법칙을 적용한다.

Vi = RaIa + La dIa/dt + Vb

Laplace Transform하면

Vi(s) = RaIa(s) + sLaIa(s) + Vb(s)
Vi(s) = (Ra+sLa) Ia(s) + Vb(s)

4. Motor Torque

Motor Torque는 Armature Current에 비례한다.

Tm = KmIa

Laplace 영역에서도

Tm(s) = KmIa(s)

5. Back EMF

Back EMF는 Motor의 각속도에 비례한다.

Vb(t) = Kb dθm(t)/dt

따라서 Laplace Transform하면

Vb(s) = sKbθm(s)

또는

Vb(s) = Kbω(s)

6. 기계방정식

필기에서는 관성과 점성마찰을 다음과 같이 나타낸다.

TL = ( s²JL + sbL ) θL(s)

Motor 측에서 부하토크를 제외한 기본 관계는

Tm(s) = ( Js² + bs ) θ(s)

또는 각속도 ω(s)를 사용하면

Tm(s) = (Js+b)ω(s)

7. Armature Current

전기방정식에서

Vi(s) = (Ra+sLa) Ia(s) + sKbθ(s)

이므로

Ia(s) = [ Vi(s) – sKbθ(s) ] / [ Ra+sLa ]

8. Motor Torque 식에 대입

Tm(s) = KmIa(s)

따라서

Tm(s) = Km [ Vi(s) – sKbθ(s) ] / [ Ra+sLa ]

기계방정식과 결합하면

Km [ Vi(s) – sKbθ(s) ] / [ Ra+sLa ] = ( Js²+bs ) θ(s)

9. 입력전압과 위치 관계

양변에 \(R_a+sL_a\)를 곱하면

KmVi(s) – sKmKbθ(s) = ( Js²+bs ) ( Ra+sLa ) θ(s)

따라서

KmVi(s) = [ ( Js²+bs ) ( Ra+sLa ) + sKmKb ] θ(s)

10. DC Motor 위치 전달함수

따라서 이미지의 유도식에서 위치 전달함수는

θ(s) / Vi(s) = Km / { s [ (sJ+b) (Ra+sLa) + KmKb ] }

또는 분모를 전개하지 않은 형태로

θ(s) / Vi(s) = Km / [ s(sJ+b)(Ra+sLa) + sKmKb ]

11. 이미지의 근사식

필기에서는 전기적 Inductance 효과가 작다고 보고 근사한다.

La ≈ 0

그러면

θ(s) / Vi(s) ≈ Km / { s [ Ra(sJ+b) + KmKb ] }

분모를 정리하면

= Km / [ s ( JRas + bRa + KmKb ) ]

12. 표준 2차 형태

\(JR_a\)로 나누면

θ(s) / Vi(s) ≈ Km/(JRa) / { s [ s + ( bRa + KmKb ) / (JRa) ] }

즉 필기에서는 다음과 같은 형태로 정리한다.

G(s) = P / [ s(s+a) ]
P = Km/(JRa)
a = ( bRa + KmKb ) / (JRa)

13. 이미지의 등가 블록선도

                          Tm(s)        TL(s)
                            │           ↓
                            ▼        +  -
 Vi(s) ─► (+)Σ ─► [ 1/(Ra+La s) ] ─► [ Km ] ─► (Σ) ─► [1/(Js+b)] ─► ω(s) ─► [1/s] ─► θ(s)
          (-)▲                                              │
             │                                              │
             └──────────────────────[ Kb ]◄─────────────────┘
                              Back EMF

14. 행렬식에 의한 유도

마지막 이미지에서는 전기식과 기계식을 행렬 형태로 정리한다.

[ Las+Ra    Kes
-Kt    Jms²+bs ] [ Ia(s)
θm(s) ] = [ Va(s)
0 ]

15. 행렬식 det(A)

행렬 A를

A = [ Las+Ra    Kes
-Kt    Jms²+bs ]

로 두면

det(A) = ( Las+Ra ) ( Jms²+bs ) + KtKes

따라서

det(A) = s [ ( Las+Ra ) ( Jms+b ) + KtKe ]

16. 전류 전달함수

마지막 이미지에서 Armature Current는

Ia(s) / Va(s) = G1(s)
= ( Jms²+bs ) / det(A)

즉

Ia(s) / Va(s) = ( Jms+b ) / [ ( Las+Ra ) ( Jms+b ) + KtKe ]

17. 위치 전달함수 — 행렬식 결과

Motor 위치에 대해서는

θm(s) / Va(s) = G2(s)
= Kt / det(A)

따라서

θm(s) / Va(s) = Kt / { s [ ( Las+Ra ) ( Jms+b ) + KtKe ] }
≈ K / [ s(τs+1) ]

18. 이미지 핵심 수식

항목 이미지 내용
전기방정식 Va = RaIa + LadIa/dt + Vb
Motor Torque Tm = KmIa
Back EMF Vb = Kbω
Mechanical Tm = (Js+b)ω
위치와 속도 ω(s)=sθ(s)
Position TF Km / {s[(Ra+sLa)(Js+b)+KmKb]}
La 무시 근사 P/[s(s+a)]
DC Motor, Armature Control, Transfer Function, Back EMF, Motor Torque, Armature Current, Electrical Dynamics, Mechanical Dynamics, Angular Velocity, Angular Position
“`

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