풀이 틀림. 아래 풀이가 맞음.
109회 ss2tf
State Space · Transfer Function · Reference Input
1. 문제
다음 상태방정식으로 표현되는 전상태 피드백 제어 시스템에서 기준입력(Reference Input)과 출력간의 전달함수를 구한다.
모든 변수의 초기값은 0으로 가정한다.
Ẋ = AX + Bu
y = CX
상태벡터와 행렬은 다음과 같다.
X
=
[
x1
x2 ]
x2 ]
A
=
[
0 1
4 0 ]
4 0 ]
B
=
[
0
1 ]
1 ]
C
=
[
1 0
]
2. 필기 풀이 — 상태방정식의 Laplace 변환
Ẋ = AX + Bu
y = CX
초기조건을 0으로 두고 Laplace Transform하면
sX
=
AX
+
BU
따라서
(sI-A)X
=
BU
X
=
(sI-A)-1BU
출력식에 대입하면
Y
=
C(sI-A)-1BU
따라서 필기에서는
Y/U
=
C(sI-A)-1B
로 정리하였다.
3. (sI-A) 계산
sI
=
[
s 0
0 s ]
0 s ]
A
=
[
0 1
4 0 ]
4 0 ]
따라서
sI-A
=
[
s -1
-4 s ]
-4 s ]
4. 역행렬 계산
2×2 행렬의 역행렬은
A-1
=
adj(A)/det(A)
를 이용한다.
2×2 행렬
[
A11 A12
A21 A22 ]
A21 A22 ]
의 adjugate는
[
A22 -A12
-A21 A11 ]
-A21 A11 ]
이다.
따라서
adj(sI-A)
=
[
s 1
4 s ]
4 s ]
determinant는
det(sI-A)
=
s²-4
이므로
(sI-A)-1
=
1/(s²-4)
[
s 1
4 s ]
4 s ]
5. 필기에서 계산한 전달함수
Y/U
=
C(sI-A)-1B
주어진
B
=
[
0
1 ]
1 ]
을 곱하면
(sI-A)-1B
=
1/(s²-4)
[
1
s ]
s ]
다시
C
=
[
1 0
]
을 곱하여 필기에서는
Y/U
=
1/(s²-4)
로 계산하였다.
6. 이미지 풀이 요약
| 항목 | 이미지 내용 |
|---|---|
| A | [0 1; 4 0] |
| B | [0; 1] |
| C | [1 0] |
| sI-A | [s -1; -4 s] |
| det(sI-A) | s²-4 |
| 필기 결과 | Y/U = 1/(s²-4) |
주의:
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“풀이 틀림. 아래 풀이가 맞음.”이라고 표시되어 있다.
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State Space, SS2TF, Transfer Function,
Reference Input, State Equation,
Matrix Inverse, Adjugate, Determinant