왜 convolution이 중요한가? impulse response, h(t)를 알 수 있다면, 입력 함수 x(t)와 h(t)를 convolution하면 출력 y(t)를 알 수 있다. 단 LTI 시스템에서만 성립한다. superposition + time shift
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Convolution Integral
1. Convolution Integral 전체 흐름
Convolution의 출발점은 시스템에 impulse를 입력했을 때 나타나는 impulse response h(t)이다.
LTI System에서는 임의의 입력 x(t)를 매우 작은 impulse들의 합으로 생각할 수 있다.
각 impulse에 대한 시스템 응답을 구한 뒤, 모든 응답을 더하면 전체 출력 y(t)를 얻을 수 있다.
2. 용어 정의
2.1 Impulse δ(t)
Impulse δ(t)는 매우 짧은 순간에 작용하는 이상적인 입력 신호이다.
LTI System에 단위 impulse를 입력했을 때의 출력을 Impulse Response라고 한다.
2.2 Impulse Response h(t)
Impulse Response h(t)는 LTI System에 단위 impulse δ(t)를 입력했을 때 나타나는 출력이다.
LTI System에서는 h(t)를 알고 있으면 임의의 입력에 대한 출력을 계산할 수 있다.
2.3 LTI System
Convolution 관계는 Linear Time-Invariant System, 즉 LTI System에서 성립한다.
Superposition 성립
Time Shift 성립
2.4 Linearity와 Superposition
Linear System에서는 여러 입력에 대한 응답을 각각 구한 뒤 더할 수 있다.
그러면
이를 Superposition Principle이라고 한다.
2.5 Time Invariance와 Time Shift
Time-Invariant System에서는 입력이 시간축에서 이동하면 출력도 동일한 만큼 이동한다.
Impulse가 τ만큼 이동하면
2.6 입력 x(t)를 Impulse로 표현
임의의 입력 x(t)는 서로 다른 시간에 존재하는 무수히 많은 impulse의 합으로 표현할 수 있다.
여기서 τ는 과거의 어느 한 입력 발생 시간을 나타낸다.
2.7 Convolution Integral
τ 시점에서 크기 x(τ)를 갖는 impulse가 시스템에 입력되었다고 생각한다.
단위 impulse에 대한 응답이 h(t)이므로, Time Invariance에 의해 τ 시점의 impulse에 대한 응답은 h(t-τ)가 된다.
Impulse의 크기가 x(τ)이므로 실제 응답은
이다.
모든 τ에 대해 이 응답을 더하면 전체 출력이 된다.
2.8 τ와 t의 의미
입력이 발생한 시간
현재 출력을 구하려는 시간
Convolution Integral에서 τ는 적분 과정에서 이동하는 변수이고, t는 출력을 구하려는 현재 시간이다.
즉 τ 시점에 들어온 입력이 현재 t 시점의 출력에 얼마나 영향을 주는지를 계산한다.
3. 용어 간 관계
| 용어 | 의미 | Convolution과의 관계 |
|---|---|---|
| Impulse δ(t) | 순간적인 기본 입력 | System Response를 확인하는 기본 입력 |
| Impulse Response h(t) | Impulse 입력에 대한 시스템 출력 | 시스템의 동특성을 표현 |
| Linearity | 입력들의 응답을 합할 수 있음 | Superposition 가능 |
| Time Invariance | 입력 이동 → 출력도 동일하게 이동 | h(t-τ) 생성 |
| x(τ) | τ 시점의 입력 크기 | 각 Impulse의 크기 |
| h(t-τ) | τ 시점 입력이 현재 t에 만드는 응답 | Time-Shifted Impulse Response |
| Convolution | 각 입력의 응답을 모두 합산 | y(t) = x(t) * h(t) |
Convolution의 핵심 연결
4. 하나의 스토리로 이해하기
Step 1. 시스템의 특성을 알고 싶다
어떤 동적 시스템이 있다.
이 시스템에 가장 기본적인 입력인 단위 impulse δ(t)를 넣어 본다.
시스템이 보여주는 응답을 Impulse Response h(t)라고 한다.
Step 2. 실제 입력은 Impulse 하나가 아니다
실제 입력 x(t)는 시간에 따라 계속 변한다.
따라서 x(t)를 여러 개의 작은 impulse들이 연속적으로 들어오는 것으로 생각한다.
Step 3. τ 시점에 작은 입력이 들어왔다
τ 시점의 입력 크기를 x(τ)라고 하자.
이는 τ 시점에 크기 x(τ)의 impulse가 들어온 것과 같다.
Step 4. Time Shift를 적용한다
0초에서 impulse를 넣었을 때 시스템 응답이 h(t)였다.
그렇다면 τ초에서 impulse를 넣으면 Time-Invariant System에서는 응답도 τ만큼 이동한다.
Step 5. 입력의 크기만큼 응답도 커진다
τ 시점 impulse의 크기는 x(τ)이다.
Linear System이므로 출력 역시 같은 비율로 증가한다.
Step 6. 모든 입력의 영향을 더한다
실제 입력은 한 시점에만 존재하는 것이 아니다.
모든 τ 시점에서 발생한 입력이 현재 t의 출력에 영향을 준다.
따라서 모든 응답을 적분하여 합한다.
Step 7. 결국 무엇을 계산하는가?
Convolution은 과거의 각각의 입력이 현재 출력에 얼마나 영향을 주는지를 계산하고, 그 영향을 모두 합산한다.
5. 제어공학에서의 의미
LTI System의 동특성이 Impulse Response h(t)로 주어졌다고 하자.
그렇다면 임의의 입력 x(t)에 대한 출력은 새로운 미분방정식을 처음부터 다시 풀지 않고 Convolution으로 계산할 수 있다.
6. 핵심 기억 문장
- Convolution은 LTI System에서 사용한다.
- δ(t)를 입력했을 때의 출력이 Impulse Response h(t)이다.
- 임의의 입력 x(t)는 시간에 따라 이동한 impulse들의 합으로 표현할 수 있다.
- Time Invariance 때문에 δ(t-τ)의 응답은 h(t-τ)가 된다.
- Linearity 때문에 x(τ)δ(t-τ)의 응답은 x(τ)h(t-τ)가 된다.
- Superposition을 이용하여 모든 τ 시점의 응답을 더하면 전체 출력이 된다.
- 따라서 y(t) = x(t) * h(t)이다.
7. 최종 암기 구조
↓
Impulse Input
δ(t)
↓
Impulse Response
h(t)
↓
임의의 입력 x(t)를 Impulse로 분해
↓
x(τ)δ(t-τ)
↓
Time Shift
δ(t-τ) → h(t-τ)
↓
Linearity
x(τ)h(t-τ)
↓
Superposition
↓
Convolution Integral
y(t) = ∫ x(τ)h(t-τ)dτ
LTI System에서 Impulse Response h(t)를 알고 있으면, 임의의 입력 x(t)를 시간 이동된 impulse들의 합으로 분해하고, Time Invariance에 의해 각각의 응답 h(t-τ)를 구한 뒤, Linearity와 Superposition을 이용하여 모든 응답을 합산함으로써 출력 y(t) = x(t) * h(t)를 구할 수 있으며, 이 연산이 Convolution Integral이다.