state state 해석시 기본식 정리. 여기에서 시작하여 controlibility,observability 유도 필요

106회 기출문제

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Matrix Exponential

State Equation · Matrix Exponential · State Transition · Controllability · Observability

1. 전체 구성

필기에서는 State Equation을 Homogeneous와 Non-homogeneous 형태로 나누고, 각각 Scalar, Matrix, Laplace 방법으로 해를 구한다.

      State Equation
           │
           ├── Homogeneous
           │     ├── Scalar
           │     ├── Matrix
           │     └── Laplace
           │
           └── Non-homogeneous
                 ├── Matrix
                 └── Laplace

2. Homogeneous Scalar Equation

ẋ(t) = a x(t)

Scalar 상태방정식의 해는 다음과 같이 기록되어 있다.

x(t) = e^atx(0)

Scalar의 e^at가 Matrix 형태에서는 e^At로 확장된다.

3. Homogeneous Matrix Equation

ẋ(t) = A x(t)

Matrix 형태의 해는 다음과 같이 기록한다.

x(t) = e^Atx(0)

Matrix Exponential e^At가 상태 x(0)을 시간 t의 상태 x(t)로 이동시킨다.

4. Laplace Transform에 의한 해

ẋ(t) = A x(t)

Laplace Transform을 적용하면

sX(s) – x(0) = A X(s)

(sI – A)X(s) = x(0)

X(s) = (sI-A)^-1x(0)

다시 Inverse Laplace Transform을 적용하면

x(t) = L^-1 { (sI-A)^-1 } x(0)

5. Matrix Exponential과 Laplace 관계

필기에서는 다음 두 표현이 동일한 결과를 갖는다고 정리한다.

L^-1 { (sI-A)^-1 } = e^At

e^At = I + At + A²t²/2! + A³t³/3! + ···

e^At는 Matrix Exponential의 급수전개로 계산할 수 있다.

6. Matrix Exponential 급수

e^At = Σ_k=0^∞ (A^kt^k / k!)

      e^(At)
        =
      I
      + At
      + A²t²/2!
      + A³t³/3!
      + ...

7. Non-homogeneous State Equation

ẋ(t) = A x(t) + B u(t)

입력 u(t)가 포함된 Non-homogeneous 상태방정식이다.

8. 적분인자를 이용한 유도

식을 다음과 같이 정리한다.

ẋ(t) – A x(t) = B u(t)

양변에 e^-At를 곱한다.

e^-At { ẋ(t) – A x(t) } = e^-AtB u(t)

좌변은 다음 미분형태로 쓸 수 있다.

d/dt { e^-Atx(t) } = e^-AtB u(t)

9. 적분

0부터 t까지 적분하면

e^-Atx(t) – x(0) = ∫₀^t e^-AτB u(τ)dτ

따라서

x(t) = e^Atx(0) + e^At ∫₀^t e^-AτB u(τ)dτ

10. Non-homogeneous State Solution

위 식을 정리하면 다음 형태가 된다.

x(t) = e^Atx(0) + ∫₀^t e^A(t-τ)B u(τ)dτ

첫 번째 항은 초기상태에 의한 응답, 두 번째 항은 입력에 의한 응답이다.

11. Laplace Form

ẋ(t) = A x(t) + B u(t)

Laplace Transform을 적용하면

sX(s) – x(0) = A X(s) + B U(s)

(sI-A)X(s) = x(0) + B U(s)

X(s) = (sI-A)^-1x(0) + (sI-A)^-1B U(s)

12. Laplace와 Matrix Form의 동일성

Inverse Laplace Transform을 적용하면

x(t) = e^Atx(0) + ∫₀^t e^A(t-τ)B u(τ)dτ

Matrix 방식과 Laplace 방식이 동일한 해를 준다고 필기에 정리되어 있다.

13. State Equation Solution 정리

      ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
               │
               ▼
      x(t)
        =
      e^(At)x(0)
        +
      ∫ e^[A(t-τ)] B u(τ)dτ

14. Controllability 정의

필기에서는 Controllability를 현재의 상태 x(t)를 원하는 상태로 만들 수 있는지에 대한 개념으로 기록한다.

Input u(t) → State x(t)

입력을 적절하게 선택하여 상태를 원하는 값으로 이동시킬 수 있는가?

15. Controllability 유도

상태방정식의 해

x(t) = e^Atx(0) + ∫₀^t e^A(t-τ)B u(τ)dτ

에서 특정 시간 t₁에 원하는 상태를 만든다고 가정한다.

x(t₁) = 0

그러면 필기에서는 초기상태 x(0)을 다음과 같이 표현한다.

x(0) = – ∫₀^t₁ e^-AτB u(τ)dτ

16. Matrix Exponential 전개

e^-Aτ를 A의 거듭제곱으로 전개한다.

e^-Aτ = Σ α_kA^k

이를 상태식에 대입하면 A^kB 항들이 생성된다.

B, AB, A²B, …

17. Controllability Matrix

C = [ B AB A²B ··· A^n-1B ]

필기에서는 이 Matrix가 Full Rank이면 원하는 상태로 제어 가능하다고 정리한다.

rank(C) = n → Controllable

[B AB A²B ··· Aⁿ⁻¹B]가 Full Rank이면 시스템은 Controllable이다.

18. 106회 기출문제

페이지에는 다음 기출문제 이미지가 포함되어 있다.

x[k+1] = Ax[k] + Bu[k]

y[k] = Cx[k]

문제에서는 행렬

[ B AB A²B ··· A^n-1B ]

의 역행렬 또는 Rank 조건과 Controllability의 관계를 설명하도록 되어 있다.

19. Observability 정의

필기에서는 Observability를 시스템 출력 y(t)를 이용하여 내부 상태를 확인할 수 있는가에 대한 개념으로 정리한다.

State x(t) → Output y(t)

출력으로부터 초기상태 또는 내부 상태를 알아낼 수 있는가?

20. Observability 유도

ẋ(t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = Cx(t)

상태해를 출력식에 대입하면

y(t) = C e^Atx(0) + C ∫₀^t e^A(t-τ)B u(τ)dτ

21. Known Input 제거

필기에서는 A, B, u(t)는 알고 있는 값으로 보고, x(0)에 관련된 항을 중심으로 분석한다.

y(t) ~ C e^Atx(0)

22. Observability Matrix 유도

Matrix Exponential을 전개하면

e^At = Σ α_kA^k

따라서 출력은

y(t) ~ Σ α_k C A^kx(0)

와 같이 표현된다.

23. Observability Matrix

O = [ C ; CA ; CA² ; ··· ; CA^n-1 ]

필기에서는 이 Matrix가 Full Rank이면 출력으로부터 상태를 확인할 수 있다고 정리한다.

rank(O) = n → Observable

[C; CA; CA²; ···; CAⁿ⁻¹]가 Full Rank이면 시스템은 Observable이다.

24. Controllability와 Observability 비교

구분	Controllability	Observability
방향	Input → State	State → Output
의미	입력으로 상태를 원하는 값으로 이동	출력으로 내부 상태를 추정
Matrix	[B AB A²B ··· Aⁿ⁻¹B]	[C; CA; CA²; ···; CAⁿ⁻¹]
조건	Full Rank	Full Rank

25. 전체 관계

      ẋ = Ax + Bu
           │
           ▼
      Matrix Exponential
           │
           ▼
      x(t)
       =
      e^(At)x(0)
       +
      ∫e^[A(t-τ)]Bu(τ)dτ
           │
           ├───────────────┐
           │               │
           ▼               ▼
      Controllability   Observability
           │               │
           ▼               ▼
      [B AB ...]       [C; CA; ...]
           │               │
           ▼               ▼
        Full Rank        Full Rank
           │               │
           ▼               ▼
      상태 제어 가능    상태 관측 가능

26. 이미지 OCR 핵심 정리

항목	필기 내용
Homogeneous	ẋ = Ax
Homogeneous Solution	x(t) = e^Atx(0)
Matrix Exponential	I + At + A²t²/2! + ···
Laplace 관계	L⁻¹{(sI-A)⁻¹} = e^At
Non-homogeneous	ẋ = Ax + Bu
State Solution	e^Atx(0) + ∫e^A(t-τ)Bu(τ)dτ
Controllability	[B AB ··· Aⁿ⁻¹B] Full Rank
Observability	[C; CA; ···; CAⁿ⁻¹] Full Rank

이 HTML은 페이지 본문 설명을 사용하지 않고, 일반 이미지 6장만 OCR/시각 판독하여 작성했다. 이 페이지에는 NeoStudio PDF가 없다. 첫 4장의 손글씨 이미지는 Matrix Exponential → State Equation Solution → Controllability까지 연속된 유도이고, 마지막 손글씨 이미지는 Observability 유도이다. 일부 계수 αk, βk의 세부 전개는 손글씨가 불명확하여 임의로 복원하지 않고, 최종적으로 명확하게 확인되는 Controllability / Observability Matrix와 Full Rank 조건을 중심으로 옮겼다.

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Matrix Exponential

1. 전체 구성

2. Homogeneous Scalar Equation

3. Homogeneous Matrix Equation

4. Laplace Transform에 의한 해

5. Matrix Exponential과 Laplace 관계

6. Matrix Exponential 급수

7. Non-homogeneous State Equation

8. 적분인자를 이용한 유도

9. 적분

10. Non-homogeneous State Solution

11. Laplace Form

12. Laplace와 Matrix Form의 동일성

13. State Equation Solution 정리

14. Controllability 정의

15. Controllability 유도

16. Matrix Exponential 전개

17. Controllability Matrix

18. 106회 기출문제

19. Observability 정의

20. Observability 유도

21. Known Input 제거

22. Observability Matrix 유도

23. Observability Matrix

24. Controllability와 Observability 비교

25. 전체 관계

26. 이미지 OCR 핵심 정리

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