Final Value Theorem
1. Final Value Theorem 전체 흐름
즉 시간 t를 무한대로 보내어 정상상태 값을 직접 구하는 대신, Laplace 영역에서 s를 0으로 보내어 같은 값을 계산한다.
2. 용어 정의
2.1 Final Value
Final Value는 시간이 충분히 지난 후 출력 y(t)가 도달하는 정상상태 값이다.
2.2 Final Value Theorem
y(t)의 Laplace Transform을 Y(s)라고 하면 Final Value Theorem은 다음과 같다.
limt→∞ y(t)
lims→0 sY(s)
따라서 복잡한 Y(s)를 inverse Laplace Transform하여 y(t)를 모두 구하지 않아도 정상상태 값만 바로 계산할 수 있다.
2.3 적용 조건 — Pole
Final Value Theorem은 아무 Y(s)에나 적용할 수 있는 공식이 아니다.
원문 필기에서는 적용조건을 다음과 같이 정리하였다.
LHP는 Left Half Plane, 즉 s-plane의 왼쪽 반평면을 의미한다.
2.4 왜 s → 0 인가?
Final Value Theorem에서는 시간영역의
에 대응하여 s-domain에서
을 사용한다.
3. Final Value Theorem 유도
3.1 미분의 Laplace Transform에서 시작
원문에서는 y(t)의 미분에 대한 Laplace Transform에서 출발한다.
Laplace Transform 정의로 쓰면
3.2 양변에 s → 0 적용
이제 양변에서 s를 0으로 보낸다.
우변에서는
이므로
3.3 미분을 적분한다
미분값을 시간에 대해 적분하면 y(t)의 처음 값과 마지막 값의 차이가 된다.
따라서
양변의 초기값 y(0)을 제거하면
따라서
4. 용어 간 관계
| 용어 | 의미 | Final Value Theorem과의 관계 |
|---|---|---|
| y(t) | 시간영역 출력 | 최종값을 구하려는 대상 |
| Y(s) | y(t)의 Laplace Transform | s-domain 출력 |
| sY(s) | Y(s)에 s를 곱한 값 | Final Value 계산 및 pole 조건 확인 |
| s → 0 | DC / 정상상태 영역 | 최종값 계산 |
| LHP | Left Half Plane | 응답의 수렴 조건 |
| Final Value | t → ∞에서의 출력값 | lim sY(s)로 계산 |
Final Value Theorem의 핵심 연결
5. 하나의 스토리로 이해하기
Step 1. 출력의 최종값만 알고 싶다
시스템의 출력이 y(t)라고 하자.
우리가 알고 싶은 것은 전체 과도응답이 아니라 시간이 충분히 지난 후의 값이다.
Step 2. y(t)를 직접 구하기는 번거롭다
Y(s)가 주어졌다면 일반적인 방법은 inverse Laplace Transform으로 y(t)를 먼저 구하는 것이다.
하지만 정상상태 값만 필요하다면 이 전체 과정을 수행할 필요가 없다.
Step 3. sY(s)를 만든다
그리고 sY(s)의 pole을 확인한다.
Step 4. Pole이 LHP에 있으면 응답이 수렴한다
이 조건이 만족되면 Final Value Theorem을 적용할 수 있다.
Step 5. s를 0으로 보낸다
이 값이 시간영역 출력의 정상상태 최종값이다.
6. 제어공학에서의 의미
제어시스템에서는 입력에 대한 출력의 정상상태 값을 자주 확인한다.
전달함수를 G(s), 입력을 R(s)라고 하면
이므로 Final Value는
로 계산할 수 있다.
7. Steady-State Error와의 연결
Feedback Control System에서는 출력뿐 아니라 정상상태 오차도 Final Value Theorem으로 구할 수 있다.
E(s)가 오차 e(t)의 Laplace Transform이면
8. 핵심 기억 문장
- Final Value는 limt→∞ y(t)이다.
- Final Value Theorem은 limt→∞ y(t) = lims→0 sY(s)이다.
- Final Value Theorem 적용 전에는 sY(s)의 pole을 확인해야 한다.
- 원문에서는 sY(s)의 모든 pole이 LHP에 존재해야 한다고 정리한다.
- Final Value Theorem은 미분의 Laplace Transform 성질에서 유도할 수 있다.
- 정상상태 출력은 Y(s)를 역변환하지 않고 직접 구할 수 있다.
- 정상상태 오차 역시 ess = lims→0sE(s)로 계산한다.
9. 최종 암기 구조
y(t)
↓
Laplace Transform
↓
Y(s)
↓
sY(s)
↓
Pole 확인
↓
모든 Pole
LHP
↓
Final Value Theorem 적용
↓
s → 0
↓
lims→0sY(s)
↓
limt→∞y(t)
↓
Steady-State Value
Final Value Theorem은 시간응답 y(t)를 직접 역 Laplace Transform하지 않고 Y(s)에 s를 곱한 sY(s)의 pole이 LHP에 존재하여 응답이 수렴하는지를 먼저 확인한 후, s를 0으로 보내어 limt→∞y(t) = lims→0sY(s)로 시스템의 정상상태 최종값을 구하는 방법이다.