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2차 시스템 과도 응답

복소근을 갖는 2차 표준형 시스템의 극점 위치와 과도 응답 특성간의 관계에 대하여 설명하시오.

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2차 시스템 과도 응답

Second-Order System · Damping Ratio · Natural Frequency · Pole · Transient Response · Stability

1. 문제

복소근을 갖는 2차 표준 시스템의 극점 위치와 과도응답 특성의 관계를 설명한다.

2. 2차 표준 시스템

필기에서는 2차 시스템의 분모를 다음 표준형으로 나타낸다.

s² + 2ζωns + ωn²
ζ = Damping Ratio
ωn = Natural Frequency
2차 시스템의 과도응답은 Damping Ratio와 Natural Frequency에 의해 결정된다.

3. 복소극점

복소극점은 실수부와 허수부로 표현한다. 

                    Im
                     ↑
                     │       × Pole
                     │      /
                     │     /
                     │    /
      ───────────────┼──────────────→ Re
                     │
                     │
                     │
Pole = σ ± jωd

필기에서는 다음과 같이 기록한다.

σ = Pole의 실수부
ωd = Pole의 허수부
원본 필기에는 ωd 옆에 “Undamped natural freq”라고 적혀 있으나, 여기서는 원문 표현을 수정하지 않고 Pole의 허수부라는 필기 내용까지만 보존하였다.

4. Pole의 크기 관계

필기의 극점 그림에서는 원점에서 Pole까지의 거리와 실수부·허수부의 관계를 나타낸다. 

                    Im
                     ↑
                     │      ×
                     │     /|
                     │    / |
                     │   /  | ωd
                     │  /   |
      ───────────────┼─/────────────→ Re
                    -σ
복소극점의 위치가 과도응답의 감쇠와 진동 특성을 결정한다.

5. 2차 시스템이 중요한 이유

필기에서는 대부분의 시스템을 1차 또는 2차 시스템으로 표현할 수 있기 때문에 2차 시스템이 중요하다고 기록한다.

실제 System → 1차 / 2차 System으로 표현

6. Partial Fraction

2차 시스템은 Pole을 이용하여 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다고 기록한다.

K / { (s-p1) (s-p2) }

Partial Fraction을 이용하여 시간응답을 분석할 수 있다.

7. Pole 위치와 Transient Response

필기에서는 Pole의 위치를 세 경우로 나누어 시간응답의 변화를 설명한다.

  1. LHP
  2. RHP
  3. 허수축 위

8. LHP — 안정 시스템

Pole이 Left Half Plane에 위치하면 실수부 σ가 음수가 된다.

σ < 0

필기에서는 시간응답의 지수항을 다음과 연결한다.

eσt → 시간 증가 시 감소 
      s-plane

             Im
              ↑
        ×     │
      LHP     │
      ────────┼────────────→ Re
              │


      Response
        ↑
        │\
        │ \
        │  \__
        │     \____
        └──────────────→ t
σ가 음수이면 시간응답이 감소하여 안정된다.

9. RHP — 불안정 시스템

Pole이 Right Half Plane에 위치하면 실수부 σ가 양수가 된다.

σ > 0
eσt → 시간 증가 시 증가 
      s-plane

             Im
              ↑
              │     ×
      ────────┼────────────→ Re
              │     RHP


      Response
        ↑
        │             /
        │          __/
        │       __/
        │    __/
        └──────────────→ t
σ가 양수이면 응답이 발산하여 Unstable System이 된다.

10. σ = 0 — 허수축 위의 Pole

Pole의 실수부가 0이면 Pole은 허수축 위에 위치한다.

σ = 0

필기에서는 이 경우 Oscillation이 계속된다고 기록한다. 

      s-plane

             Im
              ↑
              ×
              │
      ────────┼────────────→ Re
              │


      Response
        ↑
        │    /‾\      /‾\
        │   /   \    /   \
      0 ├──/─────\──/─────\──→ t
        │ /       \/       \
σ = 0 → Oscillation 지속

필기에서는 이를 Critical System이라고 기록한다.

11. 실수부와 응답 감쇠

Pole의 실수부 σ는 시간응답의 지수항과 연결된다.

σ < 0 → eσt 감소 → Stable
σ > 0 → eσt 증가 → Unstable
σ = 0 → 감쇠 없음 → Oscillation 지속

12. 허수부와 진동 특성

필기에서는 Pole의 Imaginary Part가 진동 특성과 관계되는 것으로 기록한다.

Imaginary Part → Oscillation 관련 특성
실수부는 감쇠·발산, 허수부는 진동 특성과 연결하여 본다.

13. Pole 위치에 따른 응답 정리

Pole 위치 σ 시간응답 판정
LHP σ < 0 eσt 감소 Stable
RHP σ > 0 eσt 증가 Unstable
Imaginary Axis σ = 0 Oscillation 지속 Critical System으로 기록

14. 제어기 설계 — Stability

의견 부분에서는 제어기를 설계하기 위해서는 우선 안정도가 필요하다고 기록한다.

Controller Design → Stability 확보

15. 불안정 시스템의 보상

시스템이 불안정하다면 Pole 또는 Zero를 추가하여 안정도를 확보하는 방향을 기록한다.

Unstable System + Pole / Zero → Stability 확보

16. 과도상태 성능 개선

원하는 Transient State의 성능을 만족시키기 위해 Pole 또는 Zero를 추가한다고 기록한다.

Desired Transient Response → Pole / Zero 추가

필기에서는 이를 Lag, Lead Compensation과 연결한다.

Pole / Zero Compensation → Lag / Lead Compensator

17. 전체 관계

      2차 표준 시스템
            │
            ├── ζ : Damping Ratio
            └── ωn : Natural Frequency
            │
            ▼
        Complex Pole
        σ ± jωd
            │
       ┌────┴─────┐
       │          │
       ▼          ▼
    Real Part   Imaginary Part
       │          │
       ▼          ▼
    감쇠/발산     진동 특성
       │
       ├── σ < 0 → Stable
       ├── σ > 0 → Unstable
       └── σ = 0 → Oscillation
            │
            ▼
      Pole / Zero 조정
            │
            ▼
       Lead / Lag 보상

18. NeoStudio PDF 핵심 정리

항목 OCR 내용
2차 표준형 s² + 2ζωns + ωn²
ζ Damping Ratio
ωn Natural Frequency
σ Pole의 실수부
ωd Pole의 허수부
LHP σ < 0 → 응답 감소 → Stable
RHP σ > 0 → 응답 발산 → Unstable
σ = 0 Oscillation 지속
설계 Pole / Zero 추가로 안정도 및 과도응답 조정
보상 Lag / Lead Compensation
이 HTML은 페이지 본문을 사용하지 않고, NeoStudio PDF 1개(총 2페이지)만 페이지별 OCR/시각 판독하여 작성했다. 이 페이지에는 별도의 일반 이미지가 없다. 표준 2차 시스템 전달함수의 분자는 손글씨 판독이 명확하지 않아 임의로 보완하지 않고, 명확하게 확인되는 분모 s² + 2ζωn s + ωn²만 반영했다. 또한 원본에서 ωd 옆에 적힌 영문 표현은 일반 제어이론으로 자동 수정하지 않고 Pole의 허수부라는 명확한 내용까지만 보존했다.
Second Order System, 2차 시스템, Transient Response, Damping Ratio, Natural Frequency, Complex Pole, LHP, RHP, Stability, Unstable System, Oscillation, Pole, Zero, Lead Compensator, Lag Compensator
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