무선통신개론 2판, 28 ~ 32p 정리
https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete-time_Fourier_transform#Relation_to_Fourier_Transform
https://www.ti.com/video/5527868103001#tab-1
https://jaeseolee3754.tistory.com/34
Nyquist-Shannon Sampling Theorem
1. Nyquist-Shannon Sampling Theorem
NeoStudio에서는 연속시간 Signal을 일정한 시간 간격으로 Sampling하여 이산 데이터로 만드는 과정에서 시작한다.
Continuous Signal
│
▼
Sampling
│
▼
Discrete Samples
Sampling Frequency가 충분히 높으면 원 신호를 복원할 수 있지만, 충분하지 않으면 Aliasing이 발생한다고 기록한다.
2. Sampling 주기
Sample 사이의 시간간격을 T로 나타낸다.
3. 시간영역 Sampling
원본 그림에서는 연속신호 x(t)를 일정한 주기 T마다 추출한다.
x(t)
/\ /\ /\
/ \ / \ / \
/ \____/ \____/ \
↑ ↑ ↑
│←── T ──→│←── T ──→│
Sampling된 신호는 원 신호의 일정 간격 값만 남긴다.
4. Sampling된 신호의 반복 표현
NeoStudio에는 Sampling 과정과 함께 다음 형태의 반복 표현이 기록되어 있다.
여기서 n은 정수 범위에서 반복되는 형태로 표현되어 있다.
5. 주파수영역에서의 Spectrum 복제
Sampling하면 주파수영역에서는 원래 Spectrum이 일정한 간격으로 반복된다.
Original Spectrum
/\
/ \
------- --------------------→ f
-B B
Sampled Spectrum
/\ /\ /\
/ \ / \ / \
--------------------------------→ f
←──── f_s = 1/T ────→
6. Bandwidth B
원본에서는 신호 Spectrum의 범위를 Bandwidth B와 연결하여 그린다.
Sampling 후 복제된 Spectrum 사이의 간격은 Sampling Frequency f_s이다.
7. Nyquist Sampling 조건
원본 그림은 Spectrum이 서로 겹치지 않도록 Sampling Frequency를 설정해야 한다는 흐름을 보여준다.
8. Nyquist Rate
원본에서는 최소 Sampling Frequency를 Nyquist 조건과 연결한다.
즉 원 신호의 최고주파수 성분보다 2배 이상의 속도로 Sampling해야 한다.
9. Aliasing
Sampling Frequency가 부족하면 주파수영역의 Spectrum이 서로 겹친다.
정상 Sampling
/\ /\
/ \ / \
--------------------------→ f
서로 분리
Undersampling
/\____/\
/ \
--------------------------→ f
Spectrum 겹침
↓
Aliasing
10. Aliasing의 결과
NeoStudio에서는 Aliasing이 발생하면 원 신호를 완전히 복원할 수 없다고 기록한다.
11. Sampling Theorem 전체 관계
Continuous Signal
│
▼
Sampling
│
▼
Period T 선택
│
▼
f_s = 1/T
│
┌───────┴────────┐
│ │
▼ ▼
f_s ≥ 2B f_s < 2B
│ │
▼ ▼
Spectrum 분리 Spectrum 중첩
│ │
▼ ▼
원 신호 복원 Aliasing
│
▼
정확한 복원 불가
12. Nyquist 채널 용량
NeoStudio 2페이지는 Sampling Theorem 이후 Nyquist의 Channel Capacity 관계를 기록한다.
잡음이 없는 채널에서 M개의 Signal Level을 사용하는 관계를 다음 식으로 기록한다.
13. M 증가의 의미
NeoStudio에서는 M이 커지면 전송 가능한 정보량이 증가하는 방향으로 기록한다.
다만 실제 채널에서는 Noise 때문에 Signal Level을 무한히 증가시킬 수 없다는 흐름으로 Shannon 이론으로 연결한다.
14. Shannon Channel Capacity
NeoStudio에서는 실제 채널에는 Noise가 존재하므로 Nyquist의 무잡음 관계만으로는 전송속도를 계속 증가시킬 수 없다고 기록한다.
이에 대해 Shannon Channel Capacity를 다음과 같이 기록한다.
단위는 bps로 기록되어 있다.
15. SNR
Signal과 Noise의 비를 SNR로 표현한다.
dB 표현은 다음과 같이 기록한다.
16. Noise와 Channel Capacity
NeoStudio의 흐름은 실제 채널에서는 Noise를 무시할 수 없으므로 최대 전송률에 한계가 있다는 것이다.
17. Nyquist와 Shannon 관계
| 구분 | NeoStudio 내용 |
|---|---|
| Nyquist Sampling | f_s ≥ 2B, Aliasing 없이 Signal 복원 |
| Nyquist Channel | 잡음이 없는 채널, C = 2B log₂M |
| Shannon Channel | Noise가 있는 채널, C = B log₂(1+SNR) |
18. 전체 흐름
Signal
│
▼
Sampling
│
▼
f_s = 1/T
│
▼
f_s ≥ 2B
│
▼
Aliasing 방지
│
▼
Signal 복원
Communication Channel
│
┌────────┴────────┐
│ │
▼ ▼
Noise 없음 Noise 있음
│ │
▼ ▼
Nyquist Shannon
│ │
▼ ▼
C=2B log₂M C=B log₂(1+SNR)
19. NeoStudio PDF 핵심 정리
| 항목 | 원본 내용 |
|---|---|
| Sampling Period | T |
| Sampling Frequency | f_s = 1/T |
| Signal Bandwidth | B |
| Nyquist Sampling 조건 | f_s ≥ 2B |
| Undersampling | Aliasing 발생 |
| Aliasing | Spectrum 중첩 → 원 신호 복원 불가 |
| Nyquist Channel Capacity | C = 2B log₂M |
| Shannon Capacity | C = B log₂(1+SNR) |
| SNR | Signal Power / Noise Power |
| SNR(dB) | 10 log₁₀(Signal Power / Noise Power) |