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Nyquist Plot Time Dealy

게시물 작성자 이대원에 의해
게시물 날짜 2024-01-22
Nyquist Plot Time Dealy에 댓글 없음

Time delay된 Nyquist Plot

https://nate9389.tistory.com/1934

https://electronics.stackexchange.com/questions/340566/how-to-determine-the-critical-delay-for-a-closed-loop-system

PM_GM 다운로드

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Nyquist Plot Time Delay

Time Delay · Nyquist Plot · Gain Crossover · Phase Crossover · Delay Margin

1. 시간지연 시스템

시간지연이 포함된 시스템은 다음과 같이 표현한다.

L(s) = G(s)e^-Ts

시간영역에서는

e^-TsF(s) ↔ f(t-T)

이므로 e^-Ts는 입력 또는 출력이 T만큼 늦게 나타나는 순수 시간지연을 의미한다.

2. 주파수영역의 시간지연

주파수응답에서는

s = jω

이므로 시간지연 항은

e^-jωT

가 된다.

Euler 관계를 이용하면

e^-jωT = cos(ωT) – j sin(ωT)

크기는

|e^-jωT| = 1

위상은

∠e^-jωT = -ωT

순수 시간지연은 Gain의 크기는 변화시키지 않고 주파수에 비례하는 추가 위상지연 -ωT를 만든다.

3. Nyquist Plot에 미치는 영향

시간지연이 없는 주파수응답이

G(jω)

라면 시간지연이 있을 때는

L(jω) = G(jω)e^-jωT

가 된다.

시간지연 항의 크기는 1이므로

|L(jω)| = |G(jω)|

이다.

그러나 위상은

∠L(jω) = ∠G(jω) – ωT

가 된다.

시간지연이 증가할수록 Nyquist plot은 동일한 크기를 유지하면서 위상방향으로 더 회전한다.

4. Gain Crossover Frequency와 시간지연

Gain Crossover Frequency ω_gc는

|G(jω_gc)| = 1

을 만족하는 주파수이다.

시간지연 요소는 크기가 항상 1이므로

|e^-jωT| = 1

시간지연을 추가해도 Gain Crossover Frequency 자체는 변하지 않는다.

순수 시간지연은 Magnitude를 바꾸지 않으므로 ω_gc는 그대로이고, 그 위치에서 Phase만 감소한다.

5. Delay Margin

Delay Margin T_dm은 안정한 시스템에 시간지연을 추가했을 때 시스템이 불안정 경계에 도달하기 직전까지 허용할 수 있는 최대 시간지연이다.

안정 한계에서는 Nyquist plot이 Critical Point -1을 지난다.

G(jω_gc) e^-jω_gcT_dm = -1

크기는 이미

|G(jω_gc)| = 1

이므로 위상조건만 고려하면 된다.

∠G(jω_gc) – ω_gcT_dm = -π

6. Phase Margin과 Delay Margin

Phase Margin은

PM = π + ∠G(jω_gc)

이다.

안정 한계에서 필요한 추가 위상지연이 바로 Phase Margin이므로

ω_gcT_dm = PM

따라서

T_dm = PM / ω_gc

여기서 PM은 rad 단위이어야 한다.

PM이 degree로 주어지면

T_dm = (PM / ω_gc) × (π / 180°)

Delay Margin은 Phase Margin을 Gain Crossover Frequency로 나눈 값이다.

7. PDF 예제

첨부 PDF에서는 다음 값을 사용한다.

PM = 104°

ω_gc = 1.62 rad/s

Delay Margin은

T_dm = (104° / 1.62) × (π / 180°)

T_dm ≈ 1.12 s

PDF의 MATLAB Nyquist 결과에서도 Phase Margin = 104°, Delay Margin = 1.12 s, ω_gc = 1.62 rad/s로 나타난다.

8. 문제

문제의 폐루프 전달함수는

L(s) = G(s)H(s) = e^-Ts · [2√2 / (s+1)³]

시간지연 T=0일 때는 안정하다고 주어져 있다.

다음 항목을 계산한다.

Gain Crossover Frequency ω_cg
Phase Crossover Frequency ω_cp
Gain Margin
Phase Margin
시간지연 경계값 T

9. Gain Crossover Frequency ω_cg

시간지연은 크기에 영향을 주지 않으므로 T=0인 전달함수에서 크기조건을 계산한다.

G(s) = 2√2 / (s+1)³

s=jω를 대입하면

|G(jω)| = 2√2 / |1+jω|³

그리고

|1+jω| = √(1+ω²)

이므로

|G(jω)| = 2√2 / (1+ω²)^3/2

Gain Crossover 조건

|G(jω_cg)| = 1

을 적용하면

2√2 = (1+ω_cg²)^3/2

1+ω_cg² = 2

ω_cg = 1 rad/s

10. Phase Crossover Frequency ω_cp

T=0일 때 전달함수의 위상은

∠G(jω) = -3tan^-1(ω)

이다.

Phase Crossover Frequency에서는

∠G(jω_cp) = -180°

이므로

-3tan^-1(ω_cp) = -180°

tan^-1(ω_cp) = 60°

ω_cp = tan60°

ω_cp = √3 rad/s

11. Gain Margin

Phase Crossover Frequency

ω_cp = √3

에서 magnitude를 계산한다.

|G(j√3)| = 2√2 / (1+3)^3/2

= 2√2 / 8

= √2 / 4

따라서 Gain Margin은

GM = 1 / |G(jω_cp)|

GM = 2√2

GM ≈ 2.828

dB로 나타내면

GM_dB = 20log₁₀(2√2)

GM_dB ≈ 9.03 dB

12. Phase Margin

Gain Crossover Frequency는

ω_cg = 1 rad/s

이다.

이때 위상은

∠G(j) = -3tan^-1(1)

= -3 × 45°

= -135°

따라서

PM = 180° – 135°

PM = 45°

rad로 변환하면

PM = π/4 ≈ 0.785 rad

13. 최대 허용 시간지연

안정 한계에서 시간지연이 기존 Phase Margin을 모두 소모한다.

T_max = PM / ω_cg

앞에서

PM = π/4 rad

ω_cg = 1 rad/s

이므로

T_max = (π/4) / 1

T_max = π/4

T_max ≈ 0.785 s

T = T_max에서는 Nyquist plot이 -1점을 지나며 marginal stability 상태가 된다. T가 이보다 커지면 안정성을 잃을 수 있다.

14. 문제 결과 정리

항목	결과
Gain Crossover Frequency	ω_cg = 1 rad/s
Phase Crossover Frequency	ω_cp = √3 rad/s
Gain Margin	GM = 2√2 ≈ 2.828
Gain Margin [dB]	≈ 9.03 dB
Phase Margin	PM = 45° = π/4 rad
Maximum Time Delay	T_max = π/4 ≈ 0.785 s

15. PM, GM, Delay Margin 비교

항목	의미	기준
Gain Margin	추가 가능한 Gain	∠G = -180°
Phase Margin	추가 가능한 Phase Lag	\|G\| = 1
Delay Margin	추가 가능한 Time Delay	T_dm = PM / ω_gc

16. 핵심 기억 문장

시간지연 T는 s-domain에서 e^-Ts로 표현한다.
e^-jωT의 크기는 1이고 위상은 -ωT이다.
따라서 순수 시간지연은 Gain Crossover Frequency는 바꾸지 않고 Phase만 감소시킨다.
시간지연이 증가하면 Nyquist plot이 더 회전하여 -1점에 가까워진다.
Delay Margin은 기존 Phase Margin을 모두 소모하는 시간지연이다.
PM을 rad로 나타내면 T_dm = PM/ω_gc이다.
문제의 시스템에서는 ω_cg=1, PM=45°이므로 T_max≈0.785 s이다.

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태그 Delay Margin, Nyquist, NyquistPlot, TimeDelay

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