Transfer Fucntion to Canonical Control Form
Transfer Function to Controllable Canonical Form
다음 전달함수를 갖는 제어시스템의 상태방정식과 출력방정식을 구한다.
G(s)
=
Y(s)/U(s)
=
5
/
(s3
+ 10s2
+ 8s
+ 10)
1. 전달함수 분리
중간변수 X(s)를 두면
G(s)
=
Y(s)/U(s)
=
[
5
/
(s3
+10s2
+8s
+10)
]
이를 다음 두 관계로 나눈다.
U(s)
=
(s3
+10s2
+8s
+10)X(s)
Y(s)
=
5X(s)
2. 상태방정식 유도
입력식에서 s3X(s)를 정리하면
s3X(s)
=
-10s2X(s)
-8sX(s)
-10X(s)
+U(s)
상태변수를 다음과 같이 둔다.
x1 = ẍ
x2 = ẋ
x3 = x
따라서
x⃛
=
-10ẍ
-8ẋ
-10x
+u
ẍ = x1,
ẋ = x2,
x = x3
3. Controllable Canonical Form
[
ẋ1
ẋ2
ẋ3 ] = [ -10 -8 -10
1 0 0
0 1 0 ] [ x1
x2
x3 ] + [ 1
0
0 ] u
ẋ2
ẋ3 ] = [ -10 -8 -10
1 0 0
0 1 0 ] [ x1
x2
x3 ] + [ 1
0
0 ] u
따라서 상태공간 행렬은
A
=
[
-10 -8 -10
1 0 0
0 1 0 ]
1 0 0
0 1 0 ]
B
=
[
1
0
0 ]
0
0 ]
4. 출력방정식
전달함수의 분자가 5이므로
Y(s) = 5X(s)
이다.
상태변수에서 X(s)는 x3에 해당하므로
y
=
[
0 0 5
]
[
x1
x2
x3 ]
x2
x3 ]
따라서
C
=
[
0 0 5
]
D = 0
5. 최종 상태공간 표현
ẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du
| 행렬 | 값 |
|---|---|
| A | [-10 -8 -10; 1 0 0; 0 1 0] |
| B | [1; 0; 0] |
| C | [0 0 5] |
| D | 0 |
G(s)
=
5/(s³+10s²+8s+10)
↓
A=[-10 -8 -10; 1 0 0; 0 1 0], B=[1;0;0], C=[0 0 5], D=0
↓
A=[-10 -8 -10; 1 0 0; 0 1 0], B=[1;0;0], C=[0 0 5], D=0