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산업계측제어기술사

2차 시스템의 time specification

시험에 낼지 모르겠지만, 정리하는 겸..어렵다.

  1. cover up method
  2. trigometry identities
  3. partial fraction
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https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities

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2차 시스템의 Time Specification

2nd Order System · Partial Fraction · Damping Ratio · Peak Time · Maximum Overshoot

1. 기본 2차 시스템

표준 2차 시스템의 전달함수를 다음과 같이 나타낸다.

G(s) = ωn2 / [s2 + 2ζωns + ωn2]
기호 의미
ζ Damping Ratio, 감쇠비
ωn Undamped Natural Frequency, 비감쇠 고유진동수
ωd Damped Natural Frequency, 감쇠 고유진동수
ωd = ωn√(1-ζ2)

2. 단위계단 입력

단위계단 입력은

R(s) = 1/s

이므로 출력은

Y(s) = ωn2 / {s[s2 + 2ζωns + ωn2]}

이 식을 역 Laplace Transform하기 위해 Partial Fraction Expansion을 사용한다.

3. Heaviside Cover-up Method

PDF에서는 Heaviside의 Cover-up Method를 Partial Fraction을 빠르게 구하는 방법으로 설명한다.

분모가 서로 다른 1차 인수로 분해될 때

F(s) = A/(s-a) + B/(s-b)

계수 A를 구하려면 A에 대응하는 인수 (s-a)를 제거하고 s=a를 대입한다.

A = [(s-a)F(s)]s=a

마찬가지로

B = [(s-b)F(s)]s=b
Cover-up Method는 분모의 해당 인수를 제거한 후 그 pole 값을 대입하여 계수를 구하는 방법이다.

4. Partial Fraction Expansion

2차 시스템의 단위계단 응답은 다음과 같이 부분분수 전개할 수 있다.

Y(s) = 1/s – (s + 2ζωn) / [s2 + 2ζωns + ωn2]

2차항의 분모를 완전제곱 형태로 정리한다.

s2 + 2ζωns + ωn2 = (s+ζωn)2 + ωd2
ωd2 = (1-ζ2)ωn2

따라서

Y(s) = 1/s – (s+ζωn) / [(s+ζωn)2+ωd2] – ζωn / [(s+ζωn)2+ωd2]

5. Complex Pole과 역 Laplace Transform

첨부된 Partial Fraction PDF에서는 복소공액 pole을 갖는 경우의 역 Laplace Transform을 다룬다.

p1 = α + jβ
p1* = α – jβ

복소공액 pole에 의한 시간응답은 지수감쇠와 sinusoidal oscillation이 결합된 형태가 된다.

f(t) = 2|C1|eαt cos[βt + arg(C1)]
2차 시스템의 복소공액 pole은 시간영역에서 감쇠하는 진동응답을 만든다.

6. 2차 시스템의 단위계단 응답

부분분수 전개 후 역 Laplace Transform하면 부족감쇠 2차 시스템의 단위계단 응답은 다음과 같다.

y(t) = 1 – e-ζωnt cos(ωdt) – [ζ/√(1-ζ2)] e-ζωnt sin(ωdt)

또는 sine과 cosine을 하나의 cosine으로 합쳐 다음과 같이 표현할 수 있다.

y(t) = 1 – [e-ζωnt / √(1-ζ2)] cos(ωdt – β)

여기서

β = tan-1 [ζ / √(1-ζ2)]

7. 삼각함수 합성

첨부 이미지에서는 sine과 cosine의 선형결합을 하나의 cosine으로 표현하는 관계를 사용한다.

A cos x + B sin x = C cos(x – β)
C = √(A2 + B2)
β = tan-1(B/A)

2차 시스템 응답에서는

C = 1 / √(1-ζ2)
β = tan-1 [ζ / √(1-ζ2)]

로 정리된다.

8. Pole 위치

부족감쇠 2차 시스템의 pole은

s = -ζωn ± jωd

이다.

σ = ζωn
ωd = ωn√(1-ζ2)
실수부 ζωn은 감쇠 속도, 허수부 ωd는 진동 속도와 관계된다.

9. Peak Time

Peak Time은 응답이 첫 번째 최대값에 도달하는 시간이다.

최대점에서는 출력의 기울기가 0이므로

dy(t)/dt = 0

조건을 적용하면

sin(ωdt) = 0

첫 번째 peak에서는

ωdtp = π

따라서

tp = π / ωd
tp = π / [ωn√(1-ζ2)]
Peak Time은 damped natural frequency ωd에 의해 결정된다.

10. Maximum Overshoot

첫 번째 peak에서

tp = π / ωd

이므로 단위계단 응답의 최대값은

y(tp) = 1 + Mp
Mp = e -ζπ / √(1-ζ2)

Percent Overshoot로 표현하면

%OS = 100 × e -ζπ / √(1-ζ2)
Maximum Overshoot는 주로 damping ratio ζ에 의해 결정된다.

11. Time Specification 핵심 관계

항목 식 주요 영향 인자
Damped Natural Frequency ωd = ωn√(1-ζ2) ζ, ωn
Peak Time tp = π / ωd ζ, ωn
Maximum Overshoot Mp = e-ζπ/√(1-ζ2) ζ

12. 핵심 기억 문장

  1. 부족감쇠 2차 시스템은 복소공액 pole을 가지며 감쇠진동 응답을 나타낸다.
  2. ωd = ωn√(1-ζ2)이다.
  3. 단위계단 응답을 구하기 위해 Partial Fraction과 역 Laplace Transform을 사용한다.
  4. Cover-up Method는 단순 pole에 대응하는 부분분수 계수를 빠르게 구하는 방법이다.
  5. Peak Time은 tp = π/ωd이다.
  6. Maximum Overshoot는 Mp = e-ζπ/√(1-ζ2)이다.
  7. Peak Time은 ζ와 ωn의 영향을 받고, Maximum Overshoot는 ζ에 의해 결정된다.
2nd Order System, Time Specification, Damping Ratio, Undamped Natural Frequency, Damped Natural Frequency, Partial Fraction, Cover-up Method, Complex Pole, Peak Time, Maximum Overshoot
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