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OP AMP 기본 해석

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OP AMP 기본 해석

Ideal OP Amp · Negative Feedback · Inverting Amplifier · Integrator · Differentiator

1. Ideal OP Amp 기본식

OP Amp의 기본 관계는 다음과 같다.

Vo = A(V+ – V–)

Ideal OP Amp에서는 open-loop gain을 무한대로 가정한다.

A → ∞

출력 Vo가 유한한 값을 가지려면

V+ – V– → 0

따라서 negative feedback이 걸린 상태에서는

V+ ≈ V–
Ideal OP Amp + Negative Feedback에서는 두 입력단의 전압을 같다고 두고 해석한다.

2. Negative Feedback 반전 증폭기

반전 입력단에 입력 임피던스 Zi, 출력과 반전 입력단 사이에 feedback impedance Zo가 연결되어 있다.

비반전 입력단은 접지되어 있으므로

V+ = 0

Ideal OP Amp의 virtual short 관계에 의해

V– ≈ 0

이다.

입력전류와 feedback 전류가 같으므로

Vi/Zi = -Vo/Zo

따라서 전달함수는

Vo/Vi = -Zo/Zi
T(s) = -Zo/Zi
반전 OP Amp는 저항뿐 아니라 일반적인 임피던스 Z를 사용하여 동일한 형태로 해석할 수 있다.

3. 저항을 사용한 반전 증폭기

입력과 feedback에 저항을 사용하면

Zi = Ri
Zo = Ro

이므로

T(s) = -Ro/Ri

즉 출력은 입력에 대해 위상이 반전되고, 저항비에 의해 gain이 결정된다.

4. OP Amp Integrator

입력에는 저항 Ri, feedback에는 capacitor C를 사용한다.

Zi = Ri
Zo = 1/(sC)

반전 OP Amp의 일반식

T(s) = -Zo/Zi

에 대입하면

T(s) = – [1/(sC)] / Ri
T(s) = -1/(sCRi)
Integrator의 전달함수는 1/s 형태를 갖는다.

5. Integrator의 Bode Plot

T(s) = -1/(sCRi)

s=jω를 대입하면

|T(jω)| = 1/(ωCRi)

따라서 주파수가 10배 증가하면 크기는 1/10로 감소한다.

Slope = -20 dB/decade

필기에는 이를 octave 기준으로

-6 dB/octave

로 표시하였다.

Integrator는 주파수가 증가할수록 gain이 감소한다.

6. Ideal Integrator의 저주파 문제

Ideal Integrator의 magnitude는

|T(jω)| = 1/(ωCRi)

이므로

ω → 0

에서

|T(jω)| → ∞

가 된다.

Ideal Integrator는 DC 및 매우 낮은 주파수에서 gain이 지나치게 커질 수 있다.

7. Practical Integrator

저주파 gain을 제한하기 위해 feedback capacitor C와 병렬로 저항 Ro를 추가한다.

Feedback impedance는

Zo = Ro ∥ 1/(sC)

병렬 임피던스를 계산하면

1/Zo = 1/Ro + sC
Zo = Ro / (1+sCRo)

따라서 전달함수는

T(s) = – [Ro/Ri] · 1/(1+sCRo)

8. Practical Integrator의 저주파 Gain

ω=0에서는 capacitor가 open과 같은 상태가 되므로 feedback은 Ro에 의해 결정된다.

T(0) = -Ro/Ri

따라서 ideal integrator처럼 DC gain이 무한대로 증가하지 않는다.

Ro를 capacitor와 병렬로 연결하면 low-frequency gain을 -Ro/Ri로 제한할 수 있다.

9. Practical Integrator의 Corner Frequency

전달함수

T(s) = – [Ro/Ri] · 1/(1+sCRo)

에서 pole은

1+sCRo = 0

이다.

따라서 corner frequency는

ωc = 1/(CRo)

이다.

낮은 주파수에서는 일정한 gain을 가지며, ω > 1/(CRo) 이후에는 integrator 특성이 나타난다.

10. OP Amp Differentiator

Differentiator에서는 입력에 capacitor, feedback에 저항을 사용한다.

Zi = 1/(sC)
Zo = Ro

따라서

T(s) = -Zo/Zi
T(s) = -Ro / [1/(sC)]
T(s) = -sCRo
Differentiator의 전달함수는 s에 비례한다.

11. Differentiator의 Bode Plot

s=jω를 대입하면

|T(jω)| = ωCRo

따라서 주파수가 증가하면 gain도 증가한다.

Slope = +20 dB/decade

octave 기준으로는

+6 dB/octave

이다.

magnitude가 1이 되는 주파수는

|T(jω)| = 1
ωCRo = 1
ω = 1/(CRo)

12. Integrator와 Differentiator 비교

구분 Integrator Differentiator
입력 임피던스 R 1/(sC)
Feedback 임피던스 1/(sC) R
전달함수 -1/(sCR) -sCR
Magnitude ∝ 1/ω ∝ ω
Bode Slope -20 dB/dec +20 dB/dec
Octave Slope -6 dB/oct +6 dB/oct

13. LPF / HPF 관점

Integrator는 주파수가 증가할수록 gain이 감소한다.

|T(jω)| ∝ 1/ω

따라서 높은 주파수 성분을 감소시키는 Low-Pass 성격을 갖는다.

Differentiator는 주파수가 증가할수록 gain이 증가한다.

|T(jω)| ∝ ω

따라서 높은 주파수 성분을 강조하는 High-Pass 성격을 갖는다.

Differentiator는 주파수가 높아질수록 gain이 증가하므로 high-frequency noise도 크게 증폭할 수 있다.

14. 이미지 핵심 공식 정리

항목 관계식
OP Amp 기본식 Vo = A(V+-V–)
Ideal OP Amp A → ∞
Virtual Short V+ ≈ V–
반전 증폭기 T(s)=-Zo/Zi
Integrator T(s)=-1/(sCRi)
Practical Integrator T(s)= -(Ro/Ri) / (1+sCRo)
Integrator Corner ωc=1/(CRo)
Differentiator T(s)=-sCRo

15. 핵심 기억 문장

  1. Ideal OP Amp의 open-loop gain은 A→∞로 가정한다.
  2. Negative feedback 상태에서는 V+≈V–로 해석한다.
  3. 반전 OP Amp의 일반식은 T(s)=-Zo/Zi이다.
  4. Feedback에 capacitor를 사용하면 T(s)=-1/(sCR)이 되어 integrator가 된다.
  5. Integrator는 -20 dB/decade의 기울기를 갖는다.
  6. Practical Integrator는 capacitor와 병렬로 저항을 추가하여 DC gain을 제한한다.
  7. 입력에 capacitor를 사용하면 T(s)=-sCR이 되어 differentiator가 된다.
  8. Differentiator는 +20 dB/decade의 기울기를 갖는다.
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