Stability 판단 — Routh-Hurwitz, Nyquist
1. 대상 시스템
Unity Negative Feedback를 적용하면
+ Y(s)
R(s) ---->(Σ)---->[ G(s) ]----------+---->
- ^ |
| |
+-----------------------+
Unity Feedback
폐루프 전달함수는
이다.
2. Closed-Loop Transfer Function
따라서
분모를 전개하면
따라서 폐루프 전달함수는
특성방정식은
3. Routh-Hurwitz 판별
특성방정식
에 대해 Routh Array를 구성한다.
s³ | 1 6
s² | 5 5
s¹ | a 0
s⁰ | b
s¹ 행의 첫 번째 항은
마지막 항은
따라서 Routh Array는
s³ | 1 6
s² | 5 5
s¹ | 5 0
s⁰ | 5
4. Routh 안정도 판정
Routh-Hurwitz에서는 첫 번째 열의 부호 변화 횟수가 우반평면 pole의 개수이다.
First Column
1
5
5
5
모든 항이 양수이므로
따라서
5. Python Routh Array 검산
포스트의 Python 계산에서도 같은 특성방정식을 사용한다.
계산된 Routh Array는
[ 1 6 ]
[ 5 5 ]
[ 5 0 ]
[ 5 0 ]
이다.
6. Nyquist Plot을 위한 Open-Loop Transfer Function
s=jω를 대입하면
먼저
이므로
를 정리하면
따라서
7. Nyquist Plot 시작점
ω→0에서
따라서 크기는
이고 위상은
8. Nyquist Plot 고주파 특성
ω→∞에서는 세 개의 pole 영향으로
magnitude는
이다.
총 위상은
로 접근한다.
9. Nyquist Plot의 음의 실수축 교점
Nyquist plot이 실수축과 만나는 지점은 허수부가 0이 되는 조건으로 구할 수 있다.
ω≠0에서
이때 분모의 실수부는
이므로
10. Nyquist 안정도 판정
안정도 판정의 Critical Point는
이다.
Open-loop transfer function은
이므로 우반평면 pole은 없다.
원점 pole은 Nyquist contour 위에 존재하므로 contour를 우회하여 처리한다.
원본 필기의 Nyquist plot에서는 -1점을 포위하지 않는다.
따라서
11. 원본 Nyquist Plot의 형태
원본 필기의 Nyquist plot을 단순화하면 다음과 같다.
Im
↑
│
│
.-----│-----.
.-' │ '-.
.' │ '.
/ │ \
/ │ \
●-------------+-------------○------→ Re
-1 -1/6 0
Critical Point
-1
Nyquist 궤적은 -1을 감싸지 않음
음의 실수축 교점은 -1보다 오른쪽인
이므로 -1점의 encirclement가 발생하지 않는다.
12. Routh와 Nyquist 결과 비교
| 방법 | 확인 대상 | 판정 결과 |
|---|---|---|
| Routh-Hurwitz | Closed-loop characteristic equation | 첫 열 부호변화 0 → Stable |
| Nyquist | Open-loop G(s)의 frequency response | -1 encirclement 0 → Stable |
13. 두 판별법의 차이
특성방정식의 계수 사용
RHP Pole 개수 판단
Open-loop Frequency Response 사용
-1점 Encirclement 판단
두 방법은 계산 방식은 다르지만 결국 closed-loop pole이 우반평면에 존재하는지를 판단한다.
14. 주요 관계식
| 항목 | 결과 |
|---|---|
| Open-Loop Transfer Function | 5/[s(s+2)(s+3)] |
| Closed-Loop Transfer Function | 5/(s³+5s²+6s+5) |
| Characteristic Equation | s³+5s²+6s+5=0 |
| Routh First Column | 1, 5, 5, 5 |
| Routh Sign Change | 0 |
| Nyquist RHP Open-Loop Pole | P=0 |
| Negative Real Axis Crossing | G(j√6)=-1/6 |
| -1 Encirclement | 0 |
| 판정 | Stable |
15. 핵심 기억 문장
- Unity Feedback의 특성방정식은 1+G(s)=0에서 구한다.
- G(s)=5/[s(s+2)(s+3)]이면 특성방정식은 s³+5s²+6s+5=0이다.
- Routh Array의 첫 열은 1, 5, 5, 5이고 부호변화가 없으므로 안정하다.
- Routh-Hurwitz의 첫 열 부호변화 횟수는 Closed-Loop RHP Pole 개수이다.
- Nyquist 판정에서는 Open-Loop Transfer Function을 사용한다.
- 이 시스템의 open-loop RHP pole은 없으므로 P=0이다.
- Nyquist plot이 -1점을 포위하지 않으므로 Closed-Loop RHP Pole도 0이고 안정하다.
- Routh와 Nyquist는 다른 방법으로 동일한 closed-loop 안정성을 판정한다.