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산업계측제어기술사

112회 Lag compensator 문제풀이

Type 0 시스템에서 Kp가 주어졌을 경우, Steady state error를 감소시키기 위한 Lag compensator의 pole과 zero를 선정.

이게 내가 생각하는 답! unity feedback으로 변경 필요. 이 때 open loop transfer function의 원점 pole이 시스템 타입을 결정.

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KOCW 곽관웅 교수, Design Lag/Lead compensator 참조.

Section-4-Steady-State-Error다운로드
notes-ess-non-unity다운로드

아래는 오답. Compensator를 안쪽으로 루프 안쪽으로 설치할 경우.

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“`html

112회 Lag Compensator 문제풀이

Non-Unity Feedback · Unity Feedback Conversion · Steady-State Error · Lag Compensator

1. 문제

정상상태 오차를 기존의 1/2로 줄이기 위한 지상제어기(Lag Controller)를 설계한다. 

                     +          20
      R(s) -------->(Σ)---->[ ----------- ]----------> C(s)
                     -       (s+1)(s+20)                 |
                     ^                                  |
                     |             50                   |
                     +-----------[ ----- ]---------------+
                                  s+5
G(s) = 20 / [(s+1)(s+20)]
H(s) = 50/(s+5)

2. Non-Unity Feedback를 Unity Feedback으로 변환

원래 시스템은 

                     +     
      R(s) -------->(Σ)------>[ G(s) ]----------> Y(s)
                     - ^                         |
                       |                         |
                       +------[ H(s) ]------------+

이다.

필기에서는 feedback 경로 H(s)를 unity feedback 형태로 변경한다. 

                           +------>[ G ]------+
                           |                 |
      R(s) ----->(Σ)-------+------>[ H ]------+-----> Y(s)
                  -        |                 |
                           +------>[ -1 ]-----+
                  ^                            |
                  |____________________________|

이를 하나의 forward block으로 합치면 

                     +        G
      R(s) -------->(Σ)---->[ ---------- ]------> Y(s)
                     -       1+G(H-1)              |
                     ^                              |
                     |______________________________|
Geq(s) = G(s) / [1+G(s)(H(s)-1)]
Non-Unity Feedback 문제를 Unity Feedback 형태로 변환하여 정상상태 오차와 System Type을 계산한다.

3. Equivalent Open-Loop Transfer Function

G(s) = 20 / [(s+1)(s+20)]
H(s) = 50/(s+5)

따라서

H(s)-1 = 50/(s+5)-1
= (45-s)/(s+5)

Equivalent open-loop transfer function은

Geq(s) = \frac{ \frac{20}{(s+1)(s+20)} }{ 1+ \frac{20}{(s+1)(s+20)} \frac{45-s}{s+5} }

4. Position Error Constant

Type 0 시스템의 단위계단 입력 정상상태 오차는

ess = 1/(1+Kp)

로 계산한다.

Kp = lims→0 Geq(s)

필기 계산에서는

G(0) = 20/(1×20) = 1
H(0)-1 = 50/5 – 1 = 9

따라서

Kp = 1/(1+9)
Kp = 1/10

5. 기존 정상상태 오차

ess = 1/(1+Kp)

Kp=1/10을 대입하면

ess = 1/(1+1/10)
ess = 10/11

6. 목표 정상상태 오차

문제 조건은 정상상태 오차를 기존의 1/2로 줄이는 것이다.

ess,target = (1/2) ess
= (1/2) × (10/11)
ess,target = 5/11

Type 0 시스템에서

5/11 = 1/(1+Kp,target)

이므로

Kp,target = 11/5 – 1
Kp,target = 6/5

7. 필요한 DC Gain 증가비

기존 Position Error Constant는

Kp = 1/10

목표값은

Kp,target = 6/5

따라서 필요한 저주파 gain 증가비는

β = Kp,target / Kp
β = (6/5)/(1/10)
β = 12
정상상태 오차를 절반으로 감소시키기 위해 저주파 gain을 약 12배 증가시키는 Lag compensator가 필요하다.

8. Lag Compensator 형태

필기에서는 Lag compensator를

Gc(s) = (s+z)/(s+p)

형태로 둔다.

Lag compensator에서는 일반적으로 pole이 zero보다 원점에 더 가깝게 배치된다. 

      Re axis

      --------------------○---------×----------→
                         -z        -p          0

      ○ : Zero
      × : Pole

      p < z

DC gain은

Gc(0) = z/p

이므로 필요한 gain 증가비 β에 대해

z/p ≈ β

로 pole과 zero를 정한다.

9. PI 형태와 Lag Compensator

필기에서는 PI Controller도 다음과 같이 정리한다.

Kp + Ki/s
= (Kps+Ki)/s

원점 pole을 추가하면 System Type이 증가하므로 정상상태 오차 특성이 크게 바뀐다.

반면 일반 Lag compensator는

Gc(s) = (s+z)/(s+p)

형태로 pole과 zero를 원점 근처에 함께 배치하여 저주파 gain을 증가시킨다.

10. 필기에서 선택한 Pole-Zero

첫 번째 필기에는 다음 값이 적혀 있다.

p = 0.1
z = 0.3

즉

Gc(s) = (s+0.3)/(s+0.1)

로 정리되어 있다.

Gc(0) = 0.3/0.1 = 3

11. 다른 필기의 Pole-Zero 선정

마지막 이미지에는

z = 2.1p

라고 적혀 있고,

p = 0.1
z = 0.21

로 선정되어 있다.

Gc(s) = (s+0.21)/(s+0.1)
Gc(0) = 2.1
이미지 사이에 pole-zero 선정값이 서로 다르다. 한 필기에는 p=0.1, z=0.3, 다른 필기에는 p=0.1, z=0.21로 기록되어 있다. 여기서는 원본 기록을 그대로 보존하였다.

12. 이미지 계산 정리

항목 이미지 계산
Plant G(s)=20/[(s+1)(s+20)]
Feedback H(s)=50/(s+5)
Unity 변환 Geq=G/[1+G(H-1)]
기존 Kp 1/10
기존 ess 10/11
목표 ess 5/11
목표 Kp 6/5
필기 1 Pole / Zero p=0.1, z=0.3
필기 2 Pole / Zero p=0.1, z=0.21
Lag Compensator, Steady-State Error, Position Error Constant, Type 0 System, Non-Unity Feedback, Unity Feedback Conversion, Pole, Zero, PI Controller
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