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109회 안정도 판별

Routh-Hurwitz · Root Locus · Nyquist Plot

1. 문제

다음 폐루프 시스템이 안정하기 위한 제어이득 K의 조건을 Nyquist 판별법, Routh-Hurwitz, 근궤적 선도를 이용하여 각각 구한다.

                 +             K
      R(s) ---->(Σ)---->[ ------------- ]-----> C(s)
                 - ^       s(s+1)(2s+1)           |
                   |                               |
                   +-------------------------------+
                        Unity Feedback

G(s) = K / [s(s+1)(2s+1)]

2. Routh-Hurwitz — 특성방정식

Unity Feedback에서 특성방정식은

1 + G(s) = 0

이므로

1 + K/[s(s+1)(2s+1)] = 0

따라서

s(s+1)(2s+1)+K=0

전개하면

2s³ + 3s² + s + K = 0

3. Routh Array

      s³ |     2          1
      s² |     3          K
      s¹ |  (3-2K)/3      0
      s⁰ |     K

안정하기 위해서는 Routh Array 첫 번째 열의 모든 항이 같은 부호를 가져야 한다.

2 > 0

3 > 0

(3-2K)/3 > 0

K > 0

따라서

3 – 2K > 0

K < 3/2

Routh-Hurwitz 안정조건

0 < K < 3/2

4. Root Locus — 허수축 통과 조건

Root Locus가 허수축을 통과하는 안정 한계를 구하기 위해

s = jω

를 특성방정식에 대입한다.

2(jω)³ + 3(jω)² + jω + K = 0

실수부와 허수부로 분리하면

K – 3ω² + j(ω-2ω³) = 0

5. 허수부 조건

ω – 2ω³ = 0

ω(1-2ω²) = 0

ω≠0인 허수축 교점은

1 – 2ω² = 0

ω² = 1/2

ω = 1/√2

따라서 Root Locus는 안정 한계에서

s = ±j/√2

를 통과한다.

                Im
                ↑

                ●  +j/√2
                |
    ------------+--------------------------→ Re
                |
                ●  -j/√2

              안정 한계

6. Root Locus — 임계 Gain

실수부 조건은

K – 3ω² = 0

이므로

K = 3ω²

ω²=1/2를 대입하면

K = 3/2

K = 3/2에서 폐루프 pole이 허수축 s=±j/√2에 위치한다.

따라서 안정영역은 0 < K < 3/2이다.

7. Nyquist Plot

Open-Loop Transfer Function은

L(s) = K / [s(s+1)(2s+1)]

이다.

주파수응답을 구하기 위해

s = jω

를 대입한다.

L(jω) = K / [ jω(jω+1)(2jω+1) ]

8. Nyquist 식 전개

먼저

(1+jω)(1+2jω) = 1 – 2ω² + j3ω

이므로

jω(1+jω)(1+2jω)

= -3ω² + jω(1-2ω²)

따라서

L(jω) = K / [ -3ω² + jω(1-2ω²) ]

켤레복소수를 곱하면

L(jω) = [ -3Kω² – jKω(1-2ω²) ] / [ 9ω⁴ + ω²(1-2ω²)² ]

9. 음의 실수축 교점

Nyquist Plot이 실수축을 지나는 조건은 허수부가 0이 되는 것이다.

ω(1-2ω²) = 0

ω≠0에서

ω² = 1/2

ω = 1/√2

이때

L(jω) = K/(-3ω²)

ω²=1/2이므로

L(jω) = -2K/3

10. Nyquist 임계 Gain

안정 한계에서는 Nyquist Plot이 Critical Point

-1 + j0

을 지난다.

따라서

-2K/3 = -1

K = 3/2

                  Im
                  ↑
                  |
                  |
       -1 ●-------●----------------------→ Re
          Critical -2K/3
           Point

       K < 3/2  → 교점이 -1의 오른쪽
       K = 3/2  → 교점이 -1
       K > 3/2  → 교점이 -1의 왼쪽

Nyquist 안정 한계

K = 3/2

안정조건: 0 < K < 3/2

11. 세 방법의 결과

판별 방법	계산 기준	임계값	안정조건
Routh-Hurwitz	(3-2K)/3 > 0	K = 3/2	0 < K < 3/2
Root Locus	s = ±j/√2	K = 3/2	0 < K < 3/2
Nyquist	L(jω)=-1	K = 3/2	0 < K < 3/2

12. 이미지 핵심 결과

Characteristic Equation = 2s³ + 3s² + s + K

ω = 1/√2

K_critical = 3/2

0 < K < 3/2

Stability, Routh-Hurwitz, Root Locus, Nyquist Plot, Critical Gain, Imaginary Axis Crossing, Characteristic Equation

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109회 안정도 판별

1. 문제

2. Routh-Hurwitz — 특성방정식

3. Routh Array

4. Root Locus — 허수축 통과 조건

5. 허수부 조건

6. Root Locus — 임계 Gain

7. Nyquist Plot

8. Nyquist 식 전개

9. 음의 실수축 교점

10. Nyquist 임계 Gain

11. 세 방법의 결과

12. 이미지 핵심 결과

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