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Definition: The gamma function of n, written Γ(n), is ∫ ₀^∞ e^-xx^n-1dx. Recursively Γ(n+1) = nΓ(n). For non-negative integers Γ(n+1) = n!.

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Laplace Transform 2

Laplace Transform Table · Gamma Function · Frequency Shift · Time Delay · 미분 · 적분

1. 기본 Laplace Transform Table

f(t)	ℒ{f(t)}
1	1/s
e^at	1/(s-a)
tⁿ	n!/sⁿ⁺¹
sin at	a/(s²+a²)
cos at	s/(s²+a²)
sinh at	a/(s²-a²)
cosh at	s/(s²-a²)
e^attⁿ	n!/(s-a)ⁿ⁺¹
e^atcos bt	(s-a)/[(s-a)²+b²]
e^atsin bt	b/[(s-a)²+b²]
f'(t)	sF(s)-f(0)
f”(t)	s²F(s)-sf(0)-f'(0)
∫₀^t f(u)du	F(s)/s
tⁿf(t)	(-1)ⁿ dⁿF(s)/dsⁿ
e^atf(t)	F(s-a)

2. tⁿ의 Laplace Transform

정의에서 직접 계산한다.

ℒ{tⁿ} = ∫₀^∞ tⁿe^-stdt

부분적분을 적용한다.

∫ f’g dt = fg – ∫ fg’ dt

다음과 같이 두면

f = tⁿ

dg = e^-stdt

g = -1/s · e^-st

부분적분 결과

∫₀^∞ tⁿe^-stdt = (n/s) ∫₀^∞ t^n-1e^-stdt

이를 반복하면

ℒ{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹

시간함수	Laplace Transform
1	1/s
t	1/s²
t²	2/s³
t³	6/s⁴

3. Gamma Function

이미지에서는 tⁿ의 Laplace Transform을 Gamma Function과 연결하여 정리한다.

Γ(n) = ∫₀^∞ x^n-1e^-xdx

Γ(n+1) = nΓ(n)

정수 n에 대해서는

Γ(n+1) = n!

따라서

∫₀^∞ xⁿe^-xdx = n!

이 관계를 이용하면

ℒ{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹

factorial n!과 Gamma Function이 연결되므로 t의 거듭제곱에 대한 Laplace Transform을 일반식으로 표현할 수 있다.

4. Frequency Shift

시간함수 f(t)의 Laplace Transform을 F(s)라고 한다.

f(t) ↔ F(s)

시간함수에 e^at를 곱하면

ℒ{e^atf(t)} = ∫₀^∞ f(t)e^ate^-stdt

= ∫₀^∞ f(t)e^-(s-a)tdt

따라서

e^atf(t) ↔ F(s-a)

시간영역에서 e^at를 곱하면 s-domain에서는 s가 s-a로 이동한다.

5. e^attⁿ

기본 관계

tⁿ ↔ n!/sⁿ⁺¹

에 Frequency Shift를 적용하면

e^attⁿ ↔ n!/(s-a)ⁿ⁺¹

즉 s 대신 s-a를 대입하면 된다.

s → s-a

6. 미분의 Laplace Transform

시간영역에서 미분하면 s-domain에서는 s가 곱해진다.

ℒ{f'(t)} = sF(s)-f(0)

초기조건이 0이라면

ℒ{f'(t)} = sF(s)

2차 미분은

ℒ{f”(t)} = s²F(s) – sf(0) – f'(0)

시간영역의 미분은 s-domain에서 s의 곱셈으로 변환된다. 단, 초기조건 항이 추가된다.

7. 적분의 Laplace Transform

시간영역에서 적분하면 s-domain에서는 1/s가 곱해진다.

ℒ{ ∫₀^t f(u)du } = F(s)/s

미분 ↔ s 곱셈

적분 ↔ 1/s 곱셈

8. sin at와 cos at

sin at ↔ a/(s²+a²)

cos at ↔ s/(s²+a²)

sin은 분자에 a, cos는 분자에 s가 위치한다.

9. Time Delay

원래 신호가

f(t) ↔ F(s)

일 때 신호가 λ만큼 지연되면

f(t-λ)

Laplace Transform은

e^-sλF(s)

가 된다.

f(t-λ) ↔ e^-sλF(s)

변수변환

z = t-λ

t = z+λ

를 사용하면

e^-s(z+λ) = e^-sz e^-sλ

이므로 시간지연 항 e^-sλ가 나타난다.

10. Time Delay와 제어시스템

필기에서는 시간지연이 제어시스템에 미치는 영향을 정리한다.

e^-sλF(s)

주파수응답에서는

s = jω

로 두므로

e^-jωλ

Euler 관계를 사용하면

e^-jωλ = cos(ωλ) – j sin(ωλ)

크기는

|e^-jωλ| = 1

위상은

∠e^-jωλ = -ωλ

순수 시간지연은 주파수응답의 크기는 변화시키지 않고, 위상을 -ωλ만큼 지연시킨다.

11. Time Delay와 Phase Margin

시간지연 요소

e^-sλ

는 주파수영역에서 추가 위상지연

-ωλ

을 발생시킨다.

Magnitude = 1

Phase = -ωλ

따라서 같은 gain을 유지하면서 주파수가 증가할수록 위상지연은 커진다.

시간지연이 증가하면 추가적인 위상지연이 발생하므로 Phase Margin이 감소할 수 있다.

12. e^-t 예제

필기 예제에서는

f(t) = e^-t

의 Laplace Transform을 정의에서 계산한다.

ℒ{e^-t} = ∫₀^∞ e^-te^-stdt

= ∫₀^∞ e^-(s+1)tdt

= 1/(s+1)

일반식

e^at ↔ 1/(s-a)

에서 a=-1을 대입한 결과와 동일하다.

13. 이미지 핵심 공식 정리

항목	관계식
상수	1 ↔ 1/s
지수함수	e^at ↔ 1/(s-a)
거듭제곱	tⁿ ↔ n!/sⁿ⁺¹
Frequency Shift	e^atf(t) ↔ F(s-a)
Time Delay	f(t-λ) ↔ e^-sλF(s)
미분	f'(t) ↔ sF(s)-f(0)
적분	∫f(t)dt ↔ F(s)/s
Sin	sin at ↔ a/(s²+a²)
Cos	cos at ↔ s/(s²+a²)
Time Delay Phase	e^-jωλ → \|M\|=1, ∠=-ωλ

14. 핵심 기억 문장

tⁿ의 Laplace Transform은 n!/sⁿ⁺¹이다.
Gamma Function은 Γ(n+1)=n! 관계를 가진다.
시간영역에서 e^at를 곱하면 s-domain에서 F(s-a)가 된다.
시간지연 f(t-λ)은 s-domain에서 e^-sλF(s)가 된다.
미분은 s의 곱셈, 적분은 1/s의 곱셈으로 변환된다.
순수 시간지연 e^-jωλ의 크기는 1이고 위상은 -ωλ이다.
따라서 시간지연은 gain을 변화시키지 않지만 Phase Margin을 감소시킬 수 있다.

Laplace Transform, Gamma Function, t^n, Frequency Shift, Time Delay, Derivative, Integral, sin, cos, Phase Delay, Phase Margin

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