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산업계측제어기술사

Eigenvector, Eigenvalue

Postech 이승철 교수, Natural Response 02 참조

NeoStudio_20260415_221344_산업계측제어_기술사_16_001다운로드
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https://blog.naver.com/siri0831/222241191918

state space 예제 풀이
“`html

Eigenvector · Eigenvalue

Eigenanalysis · Natural Response · Eigenvalue · Eigenvector · Diagonalization · Similarity Transform · Decoupling

1. Natural Response의 출발점

NeoStudio에서는 1차 미분방정식의 해에서 출발한다.

u̇ = a u

이 식의 해는

u(t) = C₀ eat

형태이다.

Scalar 1차 시스템의 자연응답이 지수함수 형태이므로, Vector 상태방정식도 같은 형태의 해를 가정한다.

2. Vector 상태방정식

Scalar u를 Vector로 확장하면 상태방정식은 다음과 같이 기록한다.

u̇ = A u

여기서 A는 Matrix이고, u는 Vector이다.

3. 지수함수 형태의 해 가정

NeoStudio에서는 Vector 해를 다음 형태로 가정한다.

u(t) = x eλt
  • x : Vector
  • λ : Scalar

4. Eigenvalue Problem 유도

가정한 해를 미분하면

u̇ = λ x eλt

한편 상태방정식으로부터

u̇ = A x eλt

이므로 공통 지수항을 제거하면

A x = λ x
Ax = λx를 만족하는 λ가 Eigenvalue, x가 Eigenvector이다.

5. Eigenvalue · Eigenvector

A x1 = λ1x1
A x2 = λ2x2
  • λ₁, λ₂ : Eigenvalues
  • x₁, x₂ : Eigenvectors

6. Eigenvector를 Matrix로 묶기

두 Eigenvector를 Column Vector로 나란히 배치한다.

S = [ x1   x2 ]

원본에서는 S를 Eigenvector Matrix로 기록한다.

7. Eigenvalue를 Diagonal Matrix로 묶기

각각의 Eigenvalue를 대각성분으로 배치한다.

D = [ λ1   0 ; 0   λ2 ]

일반 이미지에서는 이 행렬을 Λ로도 표시한다.

D ≡ Λ

8. AS = SD

두 Eigenvalue 관계를 동시에 쓰면

A [ x1   x2 ] = [ λ1x1   λ2x2 ]

그리고

[ λ1x1   λ2x2 ] = [ x1   x2 ] [ λ1   0 ; 0   λ2 ]

따라서

A S = S D

9. Similarity Transform · Diagonalization

AS = SD의 왼쪽에 S-1을 곱하면

S-1 A S = D

반대로 A를 표현하면

A = S D S-1
Eigenvector Matrix S를 이용하면 A를 Eigenvalue만 있는 Diagonal Matrix D로 변환할 수 있다.

10. 일반 이미지의 Eigenanalysis 정리

강의 캡처 이미지에서도 같은 관계를 정리한다.

A x₁ = λ₁x₁
A x₂ = λ₂x₂
S = [x₁   x₂]
Λ = [ λ₁   0 ; 0   λ₂ ]
AS = SΛ
Λ = S-1AS
A = SΛS-1

11. 예제 Matrix

손필기 이미지는 다음 Matrix를 예제로 사용한다.

A = [ 1   2 ; 3   0 ]

원본에 기록된 Eigenvalue는

λ₁ = -2
λ₂ = 3

이다.

12. λ₁ = -2의 Eigenvector

Eigenvector는 다음 식으로 구한다.

(A – λI)x = 0

λ₁ = -2를 대입하면

A + 2I = [ 3   2 ; 3   2 ]

따라서

3x11 + 2x12 = 0

원본에서는 다음 Eigenvector를 선택한다.

x₁ = [ 2 ; -3 ]

13. λ₂ = 3의 Eigenvector

λ₂ = 3을 대입하면

A – 3I = [ -2   2 ; 3   -3 ]

따라서

-2x21 + 2x22 = 0
x21 = x22

원본에서는

x₂ = [ 1 ; 1 ]

을 선택한다.

14. 예제의 Eigenvector Matrix

두 Eigenvector를 Column으로 묶으면

S = [ 2   1 ; -3   1 ]

이다.

15. 예제의 Diagonal Matrix

D = [ -2   0 ; 0   3 ]

원본 손계산에서는 S-1AS를 직접 계산하여 대각행렬 D가 되는 것을 확인한다.

S-1AS = [ -2   0 ; 0   3 ]

16. 왜 Diagonalization을 하는가

NeoStudio에서는 원래 상태방정식

u̇ = A u

의 상태들이 서로 Coupled되어 있으므로, Eigenvector Matrix를 이용하여 Decoupled 형태로 바꾸는 과정을 기록한다.

u = S v
좌표를 Eigenvector 방향으로 바꾸면 서로 결합된 상태방정식을 각 Eigenvalue에 대응하는 독립적인 Mode로 분리할 수 있다.

17. Coordinate Transform

새로운 좌표 v를 다음 관계로 정의한다.

u = S v

미분하면

u̇ = S v̇

18. Decoupled System 유도

원래 식

u̇ = A u

에 u=Sv를 대입하면

S v̇ = A S v

양변에 S-1을 곱하면

v̇ = S-1A S v

그리고

S-1A S = D

이므로

v̇ = D v

19. Diagonal System

D가 Diagonal Matrix이므로 상태방정식은 각각 독립적으로 분리된다.

[ v̇₁ ; v̇₂ ] = [ λ₁   0 ; 0   λ₂ ] [ v₁ ; v₂ ]

따라서

v̇₁ = λ₁v₁
v̇₂ = λ₂v₂
Coupled System이 두 개의 독립적인 1차 시스템으로 변환된다.

20. 각 Mode의 자연응답

각 식은 Scalar 1차 미분방정식이므로 해는 지수함수 형태이다.

v₁(t) = v₁(0)eλ₁t
v₂(t) = v₂(0)eλ₂t

21. 원래 좌표의 Natural Response

u=Sv를 이용하여 다시 원래 좌표로 변환한다.

u(t) = [ x₁   x₂ ] [ v₁(0)eλ₁t ; v₂(0)eλ₂t ]

따라서

u(t) = x₁v₁(0)eλ₁t + x₂v₂(0)eλ₂t
전체 자연응답은 각 Eigenvalue에 따른 지수응답과 그 Eigenvector 방향을 합한 형태이다.

22. Eigenvalue와 Natural Response

              State Equation
                 u̇ = Au
                    │
                    ▼
           u = x e^(λt) 가정
                    │
                    ▼
               Ax = λx
                    │
          ┌─────────┴─────────┐
          ▼                   ▼
      Eigenvalue λ        Eigenvector x
          │                   │
          └─────────┬─────────┘
                    ▼
           Eigenvector Matrix S
                    │
                    ▼
             S^-1 A S = D
                    │
                    ▼
                 u = Sv
                    │
                    ▼
                v̇ = Dv
                    │
          ┌─────────┴─────────┐
          ▼                   ▼
      v̇1=λ1v1            v̇2=λ2v2
          │                   │
          ▼                   ▼
    v1(0)e^(λ1t)       v2(0)e^(λ2t)
          └─────────┬─────────┘
                    ▼
         u(t)=x1v1(0)e^(λ1t)
             +x2v2(0)e^(λ2t)

23. Eigenvalue · Eigenvector의 역할

항목 원본에서의 역할
Eigenvalue λ 각 Mode의 eλt 시간응답을 결정
Eigenvector x 각 Mode가 나타나는 Vector 방향
S Eigenvector를 Column으로 묶은 Matrix
D 또는 Λ Eigenvalue를 배치한 Diagonal Matrix
S⁻¹AS=D 원래 Matrix A를 Diagonal 형태로 변환
u=Sv Coupled 좌표를 Eigenvector 좌표로 변환
v̇=Dv 각 Mode를 독립적인 1차 방정식으로 분리

24. 이미지 · NeoStudio 핵심 정리

항목 원본 내용
State Equation u̇ = Au
가정해 u = x eλt
Eigenvalue Problem Ax = λx
Eigenvector Matrix S=[x₁ x₂]
Diagonal Matrix D=diag(λ₁,λ₂)
관계 AS=SD
Diagonalization D=S⁻¹AS
역변환 A=SDS⁻¹
예제 A [1 2; 3 0]
예제 Eigenvalues λ₁=-2, λ₂=3
예제 Eigenvectors x₁=[2 -3]ᵀ, x₂=[1 1]ᵀ
예제 S [2 1; -3 1]
예제 D [-2 0; 0 3]
Coordinate Transform u=Sv
Decoupled System v̇=Dv
Natural Response Σ xᵢ vᵢ(0)eλᵢt
이 HTML은 WordPress 페이지 본문의 Postech 강의 설명, Modal Canonical Form 링크, State Space 예제 링크, Naver Blog를 사용하지 않고, 일반 이미지 3장과 NeoStudio PDF 1개(총 3페이지)만 시각 판독하여 작성했다. NeoStudio PDF 1페이지 상단의 Sensitivity, Closed-Loop Transfer Function 관련 식은 이전 Feedback System 주제의 잔여 필기로 판단하여 제외하고, Eigenvalue/Eigenvector 부분부터 반영하였다. PDF 1페이지는 u̇=Au에 u=x e^(λt)를 대입하여 Ax=λx의 Eigenvalue Problem을 만드는 과정을 기록한다. PDF 2페이지는 여러 Eigenvector와 Eigenvalue를 S와 D로 묶어 AS=SD, D=S⁻¹AS, A=SDS⁻¹을 유도한다. PDF 3페이지는 u=Sv의 좌표변환을 사용하여 Coupled System u̇=Au를 Decoupled System v̇=Dv로 변환하고, 각 Mode의 자연응답을 v_i(t)=v_i(0)e^(λ_i t)로 정리한다. 일반 이미지 1장은 강의 화면의 Eigenanalysis 관계 Ax_i=λ_i x_i, AS=SΛ, Λ=S⁻¹AS, A=SΛS⁻¹을 보여준다. 일반 이미지 2~3장은 A=[1 2;3 0]의 예제를 이용하여 λ=-2,3, x₁=[2,-3]ᵀ, x₂=[1,1]ᵀ, S=[2 1;-3 1], S⁻¹AS=diag(-2,3)을 계산한다. Characteristic Polynomial의 det(A-λI)=0 전개 과정은 이번 이미지에서 Eigenvalue 결과만 주어지고 세부 전개가 명확히 기록되어 있지 않아 외부 선형대수 이론으로 추가하지 않았다. Jordan Form, Generalized Eigenvector, 복소 Eigenvalue, Stability 판정 등의 내용도 이번 원본에 직접 전개되어 있지 않아 추가하지 않았다.
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